已知函数 f(x)=-x^ 2 +a x+4, g(x)=…——2017 高考数学第 23 题答案解析

【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．
【分析】①当 $a=1$ 时，$f(x)=-x^{2}+x+4, g(x)=|x+1|+|x-1|= \left\{\begin{array}{l}2 x, x>1 \\ 2,-1 \leqslant x \leqslant 1, \quad \text { 分 } x>1 , x \in[-1,1] , x \in(-\infty,-1) \text { 三类讨论，结合 } g( \\ -2 x, x<-1\end{array}\right. x)$ 与 $f(x)$ 的单调性质即可求得 $f(x) \geq g(x)$ 的解集为 $\left[-1, \frac{\sqrt{17}-1}{2}\right]$ ；
（2）依题意得：$-x^{2}+a x+4 \geq 2$ 在 $[-1,1]$ 恒成立 $\Leftrightarrow x^{2}-a x-2 \leq 0$ 在 $[-1,1]$ 恒成立，只需 $\left\{\begin{array}{l}1^{2}-a \cdot 1-2 \leqslant 0 \\ (-1)^{2}-a(-1)-2 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，解之即可得 $a$ 的取值范围。

【解答】解：（1）当 $a=1$ 时，$f(x)=-x^{2}+x+4$ ，是开口向下，对称轴为 $x=\frac{1}{2}$ 的二次函数，
$g(x)=|x+1|+|x-1|= \begin{cases}2 x, & x>1 \\ 2, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\ -2 x, & x<-1\end{cases}$

当 $x \in(1,+\infty)$ 时，令 $-x^{2}+x+4=2 x$ ，解得 $x=\frac{\sqrt{17}-1}{2}, g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，$f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，∴ 此时 $f(x) \geq g(x)$ 的解集为（ 1 ， $\left.\frac{\sqrt{17}-1}{2}\right] ;$
当 $x \in[-1,1]$ 时，$g(x)=2, f(x) \geq f(-1)=2$ ．
当 $x \in(-\infty,-1)$ 时，$g(x)$ 单调递减，$f(x)$ 单调递增，且 $g(-1)=f(-1$ ）$=2$ ．
综上所述，$f(x) \geq g(x)$ 的解集为 $\left[-1, \frac{\sqrt{17}-1}{2}\right]$ ；
（2）依题意得：$-x^{2}+a x+4 \geq 2$ 在 $[-1,1]$ 恒成立，即 $x^{2}-a x-2 \leq 0$ 在 $[-1,1]$ 恒成立，则只需 $\left\{\begin{array}{l}1^{2}-a \cdot 1-2 \leqslant 0 \\ (-1)^{2}-a(-1)-2 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，解得 $-1 \leq a \leq 1$ ，
故 a 的取值范围是 $[-1,1]$ ．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题。