（5分）设当 x=θ 时，函数 f(x)=sin x-2…——2013 高考数学第 15 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．
【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．
【分析】f（x）解析式提取 $\sqrt{5}$ ，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)$ 取得最大值，得到 $\sin \theta-2 \cos \theta=\sqrt{5}$ ，与 $\sin ^{2} \theta +\cos ^{2} \theta=1$ 联立即可求出 $\cos \theta$ 的值．
【解答】解：$f(x)=\sin x-2 \cos x=\sqrt{5}\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \sin x-\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cos x\right)=\sqrt{5} \sin (x-\alpha)$

其中 $\left.\cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$ ，
$\because x=\theta$ 时，函数 $f(x)$ 取得最大值，
$\therefore \sin (\theta-\alpha)=1$ ，即 $\sin \theta-2 \cos \theta=\sqrt{5}$ ，
又 $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$ ，
联立得 $(2 \cos \theta+\sqrt{5})^{2}+\cos ^{2} \theta=1$ ，解得 $\cos \theta=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
故答案为：$-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系 ，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．