A B C 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a,…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【答案】
（I）$A=\frac{\pi}{3}$；
（II）$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$．

【解析】

试题分析：（I）因为 $\vec{m} / / \vec{n}$，所以 $a \sin B-\sqrt{3} b \cos A=0$，由正弦定理，得 $\sin A \sin B-\sqrt{3} \sin B \cos A=0$，又 $\sin B \neq 0$，从而 $\tan A=\sqrt{3}$，由于 $0<A<\pi$，所以 $A=\frac{\pi}{3}$；
（II）解法一：由余弦定理，得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$，代入数值求得 $c=3$，由面积公式得 $\triangle A B C$ 面积为 $\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$．解法二：由正弦定理，得 $\frac{\sqrt{7}}{\sin \frac{\pi}{3}}=\frac{2}{\sin B}$，从而 $\sin B=\frac{\sqrt{21}}{7}$，又由 $a>b$ 知 $A>B$，所以 $\cos B=\frac{2 \sqrt{7}}{7}$，由 $\sin C=\sin (A+B)=\sin \left(B+\frac{\pi}{3}\right)$，计算得 $\sin C=\frac{3 \sqrt{21}}{14}$，所以 $\triangle A B C$

面积为 $\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$．
试题解析：（I）因为 $\vec{m} / / \vec{n}$，所以 $a \sin B-\sqrt{3} b \cos A=0$
由正弦定理，得 $\sin A \sin B-\sqrt{3} \sin B \cos A=0$，
又 $\sin B \neq 0$，从而 $\tan A=\sqrt{3}$，
由于 $0<A<\pi$

所以 $A=\frac{\pi}{3}$
（II）解法一：由余弦定理，得
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$，而 $a=\sqrt{7}, b=2, A=\frac{\pi}{3}$，
得 $7=4+c^{2}-2 c$，即 $c^{2}-2 c-3=0$
因为 $c>0$，所以 $c=3$，
故 $\triangle A B C$ 面积为 $\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$．
解法二：由正弦定理，得 $\frac{\sqrt{7}}{\sin \frac{\pi}{3}}=\frac{2}{\sin B}$
从而 $\sin B=\frac{\sqrt{21}}{7}$
又由 $a>b$ 知 $A>B$，所以 $\cos B=\frac{2 \sqrt{7}}{7}$
故 $\sin C=\sin (A+B)=\sin \left(B+\frac{\pi}{3}\right)$

$$ =\sin B \cos \frac{\pi}{3}+\cos B \sin \frac{\pi}{3}=\frac{3 \sqrt{21}}{14} $$

所以 $\triangle A B C$ 面积为 $\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$．
【考点定位】1．正弦定理和余弦定理；2．三角形的面积．
【名师点睛】1．本题考查解三角形和三角形的面积，利用正弦定理进行边角互化，继而求出 $A$ 的值；可利用余弦定理求出 $c$ 的值，代入到三角形面积公式求解计算。2．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是＂变角、变函数名和变运算形式＂，其中的核心是 ＂变角＂，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．