若 y = ( x - 1 ) ^ 2 + a x + s…——2023 高考数学第 13 题答案解析

【答案】2

【解析】

【分析】利用偶函数的性质得到 $f { \Biggl ( } - { \frac { \pi } { 2 } } { \Biggr ) } = f { \Biggl ( } { \frac { \pi } { 2 } } { \Biggr ) }$ ，从而求得a =2，再检验即可得解.

【详解】因为 $y = f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^ { 2 } + a x + \sin \left( x + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \left( x - 1 \right) ^ { 2 } + a x + \cos x$ 为偶函数，定义域为R ，

所以 $f \left( - { \frac { \pi } { 2 } } \right) = f \left( { \frac { \pi } { 2 } } \right) , \mathbb { H } \left( - { \frac { \pi } { 2 } } - 1 \right) ^ { 2 } - { \frac { \pi } { 2 } } a + \cos \left( - { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \left( { \frac { \pi } { 2 } } - 1 \right) ^ { 2 } + { \frac { \pi } { 2 } } a + \cos { \frac { \pi } { 2 } }$

则 $\pi a = \left( { \frac { \pi } { 2 } } + 1 \right) ^ { 2 } - \left( { \frac { \pi } { 2 } } - 1 \right) ^ { 2 } = 2 \pi$ ，故 $a = 2$

此时 $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^ { 2 } + 2 x + \cos x = x ^ { 2 } + 1 + \cos x$

所以 $f \left( - x \right) = \left( - x \right) ^ { 2 } + 1 + \cos \left( - x \right) = x ^ { 2 } + 1 + \cos x = f { \bigl ( } x { \bigr ) }$

又定义域为R，故f(x)为偶函数，

所以 $a = 2$

故答案为：2.