已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的…——2022 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵ 球的体积为36p，所以球的半径 $R = 3$ 设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则 $l ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } + h ^ { 2 } , 3 ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } + ( 3 - h ) ^ { 2 }$ 所以 $6 h = l ^ { 2 } \ : , \ : \ : \ : 2 a ^ { 2 } = l ^ { 2 } - h ^ { 2 }$ 所以正四棱锥的体积 $V = { \frac { 1 } { 3 } } S h = { \frac { 1 } { 3 } } \times 4 a ^ { 2 } \times h = { \frac { 2 } { 3 } } \times ( l ^ { 2 } - { \frac { l ^ { 4 } } { 3 6 } } ) \times { \frac { l ^ { 2 } } { 6 } } = { \frac { 1 } { 9 } } { \left( l ^ { 4 } - { \frac { l ^ { 6 } } { 3 6 } } \right) }$ 所以 $V ^ { \prime } = \frac 1 9 \left( 4 l ^ { 3 } - \frac { l ^ { 5 } } 6 \right) = \frac 1 9 l ^ { 3 } \left( \frac { 2 4 - l ^ { 2 } } 6 \right)$ 当 $3 \leq l \leq 2 { \sqrt { 6 } }$ 时， $V ^ { \prime } > 0$ ，当 $2 { \sqrt { 6 } } < l \leq 3 { \sqrt { 3 } }$ 时， $V ^ { \prime } { < } 0$ 所以当 $l = 2 \sqrt { 6 }$ 时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为 $\frac { 6 4 } { 3 }$ ，又l = 3时， $V = { \frac { 2 7 } { 4 } }$ $l = 3 \sqrt { 3 }$ 时， $V = \frac { 8 1 } { 4 }$ 所以正四棱锥的体积V的最小值为 $\frac { 2 7 } { 4 }$ 所以该正四棱锥体积的取值范围是 $\left[ { \frac { 2 7 } { 4 } } , { \frac { 6 4 } { 3 } } \right]$ 故选：C.