2015_省自主命题（福建）
17．(本小题满分 12 分)
等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中， $a _ { 2 } = 4 \ , a _ { 4 } + a _ { 7 } = 1 5$
（Ⅰ）求数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b _ { n } = 2 ^ { a _ { n } - 2 } + n$，求 $b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } + \dotsb + b _ { 1 0 }$ 的值
（Ⅰ） $a _ { n } = n + 2$；（Ⅱ）2101
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（Ⅰ） $a _ { n } = n + 2$；（Ⅱ）2101
【解析】（I）设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 $d$
由已知得 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle a _ { 1 } + d = 4 } \\ { \displaystyle \bigl ( a _ { 1 } + 3 d \bigr ) + \bigl ( a _ { 1 } + 6 d \bigr ) = 1 5 } \end{array} , \right.$
解得 $\left\{ { \begin{array} { l } { a _ { 1 } = 3 } \\ { d = 1 } \end{array} } \right.$
所以 $a _ { n } = a _ { 1 } + \left( n - 1 \right) d = n + 2$
(I)由（I）可得 $\dot { b } _ { n } = 2 ^ { n } + n$
所以 $\bar { b } _ { 1 } + \bar { b } _ { 2 } + \bar { b } _ { 3 } + \ldots + \bar { b } _ { 1 0 } = \left( 2 + 1 \right) + \left( 2 ^ { 2 } + 2 \right) + \left( 2 ^ { 3 } + 3 \right) + \ldots + \left( 2 ^ { 1 0 } + 1 0 \right)$
$= \left( 2 + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 3 } + \ldots + 2 ^ { 1 0 } \right) + \left( 1 + 2 + 3 + \ldots + 1 0 \right)$
$= \frac { 2 \left( 1 - 2 ^ { 1 0 } \right) } { 1 - 2 } + \frac { \left( 1 + 1 0 \right) \times 1 0 } { 2 }$
$= \left( 2 ^ { 1 1 } - 2 \right) + 5 5$
$= 2 ^ { 1 1 } + 5 3 = 2 1 0 1$．
【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法
【名师点睛】确定等差数列的基本量是 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } , d$．所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前 n 项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n项相加的过程中相互抵消）；（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）