2017_新课标 III 卷 (2017·理)
15．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \leqslant 0 \\ 2^{x}, x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 的 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\left(-\frac{1}{4},+\infty\right)$ ．
$\left(-\frac{1}{4},+\infty\right)$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】3T：函数的值．
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．
【解答】解：若 $x \leq 0$ ，则 $x-\frac{1}{2} \leq-\frac{1}{2}$ ，
则 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 等价为 $x+1+x-\frac{1}{2}+1>1$ ，即 $2 x>-\frac{1}{2}$ ，则 $x>-\frac{1}{4}$ ，
此时 $-\frac{1}{4}<x \leq 0$ ，
当 $x>0$ 时，$f(x)=2^{x}>1, x-\frac{1}{2}>-\frac{1}{2}$ ，
当 $x-\frac{1}{2}>0$ 即 $x>\frac{1}{2}$ 时，满足 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 恒成立，
当 $0 \geq x-\frac{1}{2}>-\frac{1}{2}$ ，即 $\frac{1}{2} \geq x>0$ 时，$f\left(x-\frac{1}{2}\right)=x-\frac{1}{2}+1=x+\frac{1}{2}>\frac{1}{2}$ ，
此时 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 恒成立，
综上 $x>-\frac{1}{4}$,
故答案为：$\left(-\frac{1}{4},+\infty\right)$ 。
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．