（19）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-A…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。满分 12 分。
（I）证明：在 $\triangle P A D$ 中，由题设 $P A=2, P D=2 \sqrt{2}$ 可得
$P A^{2}+A D^{2}=P D^{2}$ 于是 $A D \perp P A$ ．在矩形 $A B C D$ 中，$A D \perp A B$ ．又 $P A \cap A B=A$ ，所以 $A D \perp$ 平面 $P A B$ ．
（II）解：由题设，$B C / / A D$ ，所以 $\angle P C B$（或其补角）是异面直线 $P C$ 与 $A D$ 所成的角。
在 $\triangle P A B$ 中，由余弦定理得

$$ P B=\sqrt{P A^{2}+A B^{2}-2 P A \cdot A B \cdot \cos P A B}=\sqrt{7} $$

由（I）知 $A D \perp$ 平面 $P A B, P B \subset$ 平面 $P A B$ ，所以 $A D \perp P B$ ，因而 $B C \perp P B$ ，于是 $\triangle P B C$ 是直角三

角形，故 $\tan P C B=\frac{P B}{B C}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ ．
所以异面直线 $P C$ 与 $A D$ 所成的角的大小为 $\arctan \frac{\sqrt{7}}{2}$ ．
（III）解：过点 P 做 $P H \perp A B$ 于 H ，过点 H 做 $H E \perp B D$ 于 E ，连结 PE
因为 $A D \perp$ 平面 $P A B, P H \subset$ 平面 $P A B$ ，所以 $A D \perp P H$ ．又 $A D \cap A B=A$ ，因而 $P H \perp$ 平面 $A B C D$ ，故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影．由三垂线定理可知， $B D \perp P E$ ，从而 $\angle P E H$ 是二面角 $P-B D-A$ 的平面角。
由题设可得，
$P H=P A \cdot \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}, A H=P A \cdot \cos 60^{\circ}=1$ ，
$B H=A B-A H=2, B D=\sqrt{A B^{2}+A D^{2}}=\sqrt{13}$,
$H E=\frac{A D}{B D} \cdot B H=\frac{4}{\sqrt{13}}$
于是再 $R T \triangle P H E$ 中， $\tan P E H=\frac{\sqrt{39}}{4}$
所以二面角 $P-B D-A$ 的大小为 $\arctan \frac{\sqrt{39}}{4}$ ．