22．（本题满分 14 分）已知 $a>0, b \in R$ ，函数 $f(x)=4 a x^{3}-2 b x-a+b$ ．
（I）证明：当 $0 \leq x \leq 1$ 时，
（i）函数 $f(x)$ 的最大值为 $|2 a-b|+a$ ；
（ii）$f(x)+|2 a-b|+a \geq 0$ ；
（II）若 $-1 \leq f(x) \leq 1$ 对 $x \in[0,1]$ 恒成立，求 $a+b$ 的取值范围．
参考答案本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分 14 分。 （I）（i）$f^{\prime}(x)=12 a x^{2}-2 b=12 a\left(x^{2}-\frac{b}{6 a}\right)$ 当 $b \leq 0$ 时，有 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，此时 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增 所以当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $$ f(x)_{\max }=\max \{f(0), f(1)\}=\max \{-a+b, 3 a-b\}=\left\{\begin{array}{l} 3 a-b, b \leq 2 a \\ -a+b, b>2 a \end{array}=|2 a-b|+a\right. $$ （ii）由于 $0 \leq x \leq 1$ ，故 当 $b \leq 2 a$ 时， $$ f(x)+|2 a-b|+a=f(x)+3 a-b=4 a x^{3}-2 b x+2 a \geq 4 a x^{3}-4 a x+2 a=2 a\left(2 x^{3}-2 x+1\right) $$ 当 $b>2 a$ 时， $$ f(x)+|2 a-b|+a=f(x)-a+b=4 a x^{3}+2 b(1-x)-2 a>4 a x^{3}+4 a(1-x)-2 a=2 a\left(2 x^{3}-2 x+1\right) $$ 设 $g(x)=2 x^{3}-2 x+1,0 \leq x \leq 1$ ，则 $$ g^{\prime}(x)=6 x^{2}-2=6\left(x-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $$ 于是 | $x$ | $\mathbf{0}$ | $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)$ | $\mathbf{1}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $g^{\prime}(x)$ | | | - | $\mathbf{0}$ | + | | $g(x)$ | $\mathbf{1}$ | 减 | 极小 <br> 值 | 增 | $\mathbf{1}$ | 所以，$g(x)_{\text {min }}=g\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=1-\frac{4 \sqrt{3}}{9}>0$ ， 所以 $$ \text { 当 } 0 \leq x \leq 1 \text { 时, } 2 x^{3}-2 x+1>0 $$ 故 $f(x)+|2 a-b|+a=f(x)-a+b \geq 2 a\left(2 x^{3}-2 x+1\right) \geq 0$ （II）由（i）知，当 $0 \leq x \leq 1, f(x)_{\text {max }}=|2 a-b|+a$ ，所以 $$ |2 a-b|+a \leq 1 $$ 若 $|2 a-b|+a \leq 1$ ，则由（ii）知 $$ f(x) \geq-(|2 a-b|+a) \geq-1 $$ 所以 $-1 \leq f(x) \leq 1$ 对任意 $0 \leq x \leq 1$ 恒成立的充要条件是 $$ \left\{\begin{array}{l} |2 a-b|+a \leq 1 \\ a>0 \end{array}\right. $$ 即 $\left\{\begin{array}{l}2 a-b \geq 0 \\ 3 a-b \leq 1 \\ a>0\end{array}\right.$ ，或 $\left\{\begin{array}{l}2 a-b<0 \\ b-a \leq 1 \quad \text {（1）} \\ a>0\end{array}\right.$ 在直角坐标系 $a O b$ 中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段 $B C$ ， 作一组平行直线 $a+b=t(t \in R)$ ，得 $$ -1<a+b \leq 3 . $$ 所以的取值范围是 $(-1,3]$ ．