（12分）已知函数 f(x) 满足 f(x)=f^ (1)…——2012 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．
【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．
【分析】（1）对函数 $f(x)$ 求导，再令自变量为 1 ，求出 $f^{\prime}(1)$ 得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；

②由题意 $f(x) \geqslant \frac{1}{2} x^{2}+a x+b \Leftrightarrow h(x)=e^{x}-(a+1) x-b \geqslant 0$ ，借助导数求出新函数的最小值，令其大于 0 即可得到参数 $a, b$

所满足的关系式，再研究 $(a+1) b$ 的最大值
【解答】解：（1）$f(x)=f^{\prime}(1) e^{x-1}-f(0) x+\frac{1}{2} x^{2} \Rightarrow f^{\prime}(x)=f^{\prime}(1) e^{x-1}-f$ （0）$+x$

令 $x=1$ 得：$f(0)=1$
$\therefore f(x)=f^{\prime}(1) e^{x-1}-x+\frac{1}{2} x^{2}$ 令 $x=0$ ，得 $f(0)=f^{\prime}(1) e^{-1}=1$ 解得 $f^{\prime}(1)=e$
故函数的解析式为 $f(x)=e^{x}-x+\frac{1}{2} x^{2}$
令 $g(x)=f^{\prime}(x)=e^{x}-1+x$
$\therefore g^{\prime}(x)=e^{x}+1>0$ ，由此知 $y=g(x)$ 在 $x \in R$ 上单调递增
当 $x>0$ 时，$f^{\prime}(x)>f^{\prime}(0)=0$ ；当 $x<0$ 时，有
$f^{\prime}(x)函数 $f(x)=e^{x}-x+\frac{1}{2} x^{2}$ 的单调递增区间为 $(0,+\infty)$ ，单调递减区间为 $(-\infty$ ，
0）
②$f(x) \geq \frac{1}{2} x^{2}+a x+b \Leftrightarrow h(x)=e^{x}-(a+1) x-b \geq 0$ 得 $h^{\prime}(x)=e^{x}-(a+1)$
①当 $a+1 \leq 0$ 时，$h^{\prime}(x)>0 \Rightarrow y=h(x)$ 在 $x \in R$ 上单调递增，$x \rightarrow-\infty$ 时，$h(x) \rightarrow -\infty$ 与 $h(x) \geq 0$ 矛盾
②当 $a+1>0$ 时，$h^{\prime}(x)>0 \Leftrightarrow x>\ln (a+1), h^{\prime}(x)<0 \Leftrightarrow x<\ln (a+1)$
得：当 $x=\ln (a+1)$ 时，$h(x)_{\text {min }}=(a+1)-(a+1) \ln (a+1)-b \geq 0$ ，即 $(a+1 )-(a+1) \ln (a+1) \geq b$
$\therefore(a+1) b \leq(a+1)^{2}-(a+1)^{2} \ln (a+1),(a+1>0)$
令 $F(x)=x^{2}-x^{2} \ln x(x>0)$ ，则 $F^{\prime}(x)=x(1-2 \ln x)$
$\therefore F^{\prime}(x)>0 \Leftrightarrow 0\sqrt{e}$
当 $x=\sqrt{e}$ 时，$F(x)_{\text {max }}=\frac{e}{2}$
即当 $a=\sqrt{e}-1, b=\frac{\sqrt{e}}{2}$ 时，$\quad(a+1) b$ 的最大值为 $\frac{e}{2}$
【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解

题的关键是第一题中要赋值求出 $f^{\prime}(1)$ ，易因为没有将 $f^{\prime}(1)$ 看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错。

四、