（5分）已知当 x [0,1] 时，函数 y=(m x-1…——2017 高考数学第 10 题答案解析

【解答】
（5分）（2017 •山东）已知当 $x \in[0,1]$ 时，函数 $y=(m x-1)^{2}$ 的图象与 $y= \sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{m}$ 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是
A．$(0,1] \cup[2 \sqrt{3},+\infty)$
B．$(0,1] \cup[3,+\infty)$
C．$(0, \sqrt{2}) \cup[2 \sqrt{3},+\infty)$
D．$(0, \sqrt{2}] \cup[3,+\infty)$

【解答】解：根据题意，由于 $m$ 为正数，$y=(m x-1)^{2}$为二次函数，在区间 $\left(0, \frac{1}{m}\right)$ 为减函数，$\left(\frac{1}{m},+\infty\right)$ 为增函数，

函数 $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{m}$ 为增函数，
分 2 种情况讨论：
①、当 $0<m \leq 1$ 时，有 $\frac{1}{m} \geq 1$ ，
在区间 $[0,1]$ 上，$y=(m x-1)^{2}$ 为减函数，且其值域为 $\left[(m-1)^{2}, 1\right]$ ，
函数 $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{m}$ 为增函数，其值域为 $[\mathrm{m}, 1+\mathrm{m}]$ ，
此时两个函数的图象有 1 个交点，符合题意；
②、当 $m>1$ 时，有 $\frac{1}{m}<1$ ，
$y=(m x-1)^{2}$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{m}\right)$ 为减函数，$\left(\frac{1}{m}, 1\right)$ 为增函数，
函数 $y=\sqrt{x}+m$ 为增函数，其值域为 $[m, 1+m]$ ，
若两个函数的图象有 1 个交点，则有 $(m-1)^{2} \geq 1+m$ ，

解可得 $m \leq 0$ 或 $m \geq 3$ ，
又由 $m$ 为正数，则 $m \geq 3$ ；
综合可得：$m$ 的取值范围是 $(0,1] \cup[3,+\infty)$ ；
故选：B．