在 ABC 中内角 A, B, C 所对边分别为 a, b…——2024 高考数学第 11 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理得 $\sin A\sin C = \frac{1}{3}$ ，再利用余弦定理有 $a^2 + c^2 = \frac{13}{4}ac$ ，再利用正弦定理得到 $\sin^2 A + \sin^2 C$ 的值，最后代入计算即可.

$$ B = \frac {\pi}{3}, b ^ {2} = \frac {9}{4} a c $$

$$ \sin A \sin C = \frac {4}{9} \sin^ {2} B = \frac {1}{3} $$

由余弦定理可得: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac=\frac{9}{4}ac$ ,

即: $a^2 + c^2 = \frac{13}{4} ac$ ，根据正弦定理得 $\sin^2 A + \sin^2 C = \frac{13}{4} \sin A \sin C = \frac{13}{12}$ ，所以 $(\sin A + \sin C)^2 = \sin^2 A + \sin^2 C + 2 \sin A \sin C = \frac{7}{4}$ ，

因为 A, C 为三角形内角，则 $\sin A + \sin C > 0$ ，则 $\sin A + \sin C = \frac{\sqrt{7}}{2}$ .

故选：C.