## （17）（本小题满分 12 分） 设 f(x)=2…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（I）$f(x)$ 的单调递增区间是 $\left[k \pi-\frac{\pi}{12}, k \pi+\frac{5 \pi}{12}\right](k \in Z),\left(\right.$ 或 $\left.\left(k \pi-\frac{\pi}{12}, k \pi+\frac{5 \pi}{12}\right)(k \in Z)\right)$
（П）$\sqrt{3}$ ．

【解析】

试题分析：（I）化简 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin (\pi-x) \sin x-(\sin x-\cos x)^{2}$ 得
$f(x)=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}-1$,
由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x-\frac{\pi}{3} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)$ ，即得 $k \pi-\frac{\pi}{12} \leq x \leq k \pi+\frac{5 \pi}{12}(k \in Z)$ ，

写出 $f(x)$ 的单调递增区间
（ $\Pi$ ）由 $f(x)=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}-1$ ，平移后得 $g(x)=2 \sin x+\sqrt{3}-1$ ．进一步可得 $g\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ．
试题解析：（I）由 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin (\pi-x) \sin x-(\sin x-\cos x)^{2}$

$$ \begin{aligned} & =2 \sqrt{3} \sin ^{2} x-(1-2 \sin x \cos x) \\ & =\sqrt{3}(1-\cos 2 x)+\sin 2 x-1 \\ & =\sin 2 x-\sqrt{3} \cos 2 x+\sqrt{3}-1 \\ & =2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}-1 \end{aligned} $$

由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x-\frac{\pi}{3} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)$ ，得 $k \pi-\frac{\pi}{12} \leq x \leq k \pi+\frac{5 \pi}{12}(k \in Z)$ ，

所以，$f(x)$ 的单调递增区间是 $\left[k \pi-\frac{\pi}{12}, k \pi+\frac{5 \pi}{12}\right](k \in Z)$ ，

$$ \text { (或 }\left(k \pi-\frac{\pi}{12}, k \pi+\frac{5 \pi}{12}\right)(k \in Z) \text { ) } $$

（П）由（I）知 $f(x)=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}-1$ ，

把 $y=f(x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），
得到 $y==2 \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}-1$ 的图象，
再把得到的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位，得到 $y=2 \sin x+\sqrt{3}-1$ 的图象，
即 $g(x)=2 \sin x+\sqrt{3}-1$ ．
所以 $g\left(\frac{\pi}{6}\right)=2 \sin \frac{\pi}{6}+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}$ ．
考点：1．和差倍半的三角函数；2．三角函数的图象和性质；3．三角函数的图象和性质．