（5分）已知 A B C 是边长为2的等边三角形， P 为…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】31：数形结合；4R：转化法； 5 A ：平面向量及应用．
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可。

【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，
则 $A(0, \sqrt{3}), B(-1,0), C(1,0)$ ，
设 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=(-\mathrm{x}, \sqrt{3}-\mathrm{y}), ~ \overrightarrow{\mathrm{~PB}}=(-1-\mathrm{x},-\mathrm{y}), ~ \overrightarrow{\mathrm{PC}}=(1-\mathrm{x},-\mathrm{y}$ ），
则 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})=2 x^{2}-2 \sqrt{3} y+2 y^{2}=2\left[x^{2}+\left(y-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\frac{3}{4}\right]$
∴ 当 $\mathrm{x}=0, \mathrm{y}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，取得最小值 $2 \times\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{3}{2}$ ，
故选：B．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．