已知函数 f(x) = sin (ω x + )，如图 A…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

【解析】

【分析】设 $A\left(x_{1}, \frac{1}{2}\right), B\left(x_{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，依题可得， $x_{2} - x_{1} = \frac{\pi}{6}$ ，结合 $\sin x = \frac{1}{2}$ 的解可得， $\omega\left(x_{2} - x_{1}\right) = \frac{2\pi}{3}$ ，

从而得到 $\omega$ 的值，再根据 $f\left(\frac{2}{3}\pi\right) = 0$ 以及 $f(0) < 0$ ，即可得 $f(x) = \sin \left(4x - \frac{2}{3}\pi\right)$ ，进而求得 $f(\pi)$ ：

【详解】设 $A\left(x_{1},\frac{1}{2}\right),B\left(x_{2},\frac{1}{2}\right)$ ，由 $\left|AB\right| = \frac{\pi}{6}$ 可得 $x_{2} - x_{1} = \frac{\pi}{6}$

由 $\sin x = \frac{1}{2}$ 可知， $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ ，由图可知，

$\omega x_{2} + \varphi -\big(\omega x_{1} + \varphi \big) = \frac{5}{6}\pi -\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ ，即 $\omega (x_2 - x_1) = \frac{2\pi}{3}$ ，∴ $\omega = 4$ ：

因为 $f\left(\frac{2}{3}\pi\right)=\sin\left(\frac{8\pi}{3}+\varphi\right)=0$ ，所以 $\frac{8\pi}{3}+\varphi=k\pi$ ，即 $\varphi=-\frac{8}{3}\pi+k\pi$ ， $k\in Z$

所以 $f(x) = \sin \left(4x - \frac{8}{3}\pi + k\pi\right) = \sin \left(4x - \frac{2}{3}\pi + k\pi\right)$ ,

所以 $f(x) = \sin \left(4x - \frac{2}{3}\pi\right)$ 或 $f(x) = -\sin \left(4x - \frac{2}{3}\pi\right)$ ,

又因为 $f(0) < 0$ ，所以 $f(x) = \sin \left(4x - \frac{2}{3}\pi\right)$ ， $\therefore f(\pi) = \sin \left(4\pi - \frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

故答案为： $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

【点睛】本题主要考查根据图象求出 $\omega$ 以及函数 $f(x)$ 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键.