（12分）（2008•陕西）三棱锥被平行于底面 ABC 的…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【考点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（I）欲证平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{AD} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，根据面面垂直的判定定理可知在平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 内一直线与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{AD}$ 垂直，根据线面垂直的性质可知 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A} \perp \mathrm{BC}, ~ \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ ，又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A} \cap \mathrm{AD}=\mathrm{A}$ ，根据线面垂直的判定定理可知 $\mathrm{BC} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{AD}$ ，而 BCC 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ，满足定理所需条件；
（II）作 $\mathrm{AE} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 交 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 于 E 点，连接 BE ，由三垂线定理知 $\mathrm{BE} \perp \mathrm{CC}_{1}$ ，从而 $\angle \mathrm{AEB}$ 为二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{CC}_{1}-\mathrm{B}$ 的平面角，过 $\mathrm{C}_{1}$ 作 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{AC}$ 交 AC 于 F 点，在 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BAE}$ ，求出二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{CC}_{1}-\mathrm{B}$ 的平面角即可。
【解答】证明：（I）$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, ~ \mathrm{BCC}$ 平面 ABC ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A} \perp \mathrm{BC}$ ．在Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\sqrt{2}, \mathrm{AC}=2, \therefore \mathrm{BC}=\sqrt{6}$ ，
$\because \mathrm{BD}: \mathrm{DC}=1: 2, \therefore \mathrm{BD}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，又 $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{DBA} \sim \triangle \mathrm{ABC}, ~ \therefore \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}$ ，即AD $\angle \mathrm{BC}$ 。
又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A} \cap \mathrm{AD}=\mathrm{A}, \quad \therefore \mathrm{BC} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{AD}, \quad \because \mathrm{BC} \subset$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}, \quad \therefore$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{AD} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ ．
（II）如图，作 $\mathrm{AE} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 交 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 于 E 点，连接 BE ，
由已知得 $\mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1} . \therefore \mathrm{AE}$ 是 BE 在面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ 内的射影。
由三垂线定理知 $\mathrm{BE} \perp \mathrm{CC}_{1}, \therefore \angle \mathrm{AEB}$ 为二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{CC}_{1}-\mathrm{B}$ 的平面角。

过 $\mathrm{C}_{1}$ 作 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{~F} \perp \mathrm{AC}$ 交 AC 于 F 点，
则 $\mathrm{CF}=\mathrm{AC}-\mathrm{AF}=1, \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F}=\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}=\sqrt{3}, \quad \therefore \angle \mathrm{C}_{1} \mathrm{CF}=60^{\circ}$ ．
在Rt $\triangle \mathrm{AEC}$ 中， $\mathrm{AE}=\mathrm{AC} \sin 60^{\circ}=2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ ．
在Rt $\triangle \mathrm{BAE}$ ， $\tan \mathrm{AEB}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3} . \therefore \angle \mathrm{AEB}=\arctan \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
即二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{CC}_{1}-\mathrm{B}$ 为 $\arctan \frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．