2016_上海卷
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分
将边长为1的正方形 $A A _ { 1 } O _ { 1 } O$ （及其内部）绕的 $O O _ { 1 }$ 旋转一周形成圆柱，如图， $\widehat { A C }$ 长为$\frac 2 3 \pi$ $\widehat { A _ { 1 } B _ { 1 } }$ 长为 $\frac { \pi } { 3 }$，其中 $B _ { 1 }$ 与C在平面 $A A _ { 1 } O _ { 1 } O$ 的同侧.
（1） 求三棱锥 $C - O _ { 1 } A _ { 1 } B _ { 1 }$ 的体积；
(2) 求异面直线 $B _ { 1 } C$ 与 $A A _ { 1 }$ 所成的角的大小.
(1) $\frac { \sqrt { 3 } } { 1 2 }$; (2) $\frac { \pi } { 4 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1） $\frac { \sqrt { 3 } } { 1 2 }$；(2) $\frac { \pi } { 4 }$
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高 $h = 1$，底面半径 $r = 1$ $\angle \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { O } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } = \frac { \pi } { 3 }$，再由三角形面积公式计算 $S _ { \Delta \mathrm { O _ { 1 } A _ { 1 } B _ { 1 } } }$ 后即得.
> ②设过点 $\mathrm { B } _ { 1 }$ 的母线与下底面交于点.B，根据 $\mathrm { B B } _ { 1 } / / \mathrm { A A } _ { 1 }$，知 $\angle \mathrm { C B } _ { 1 } \mathrm { B }$ 或其补角为直线$\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C }$ 与 $\mathbf { A A } _ { 1 }$ 所成的角，再结合题设条件确定 $\angle \mathrm { C O B } = \frac { \pi } { 3 }$ $\mathrm { C B } = 1$．得出 $\angle \mathrm { C B } _ { 1 } \mathrm { B } = \frac { \pi } { 4 }$ 即可.
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高 $h = 1$，底面半径 $r = 1$
由 $\widehat { \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { B } _ { 1 } }$ 的长为 $\frac { \pi } { 3 }$，可知 $\angle \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { O } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } = \frac { \pi } { 3 }$
$$ S _ { \Delta \mathrm { O } _ { 1 } \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { O } _ { 1 } \mathrm { A } _ { 1 } \cdot \mathrm { O } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } \cdot \sin \angle \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { O } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } , $$
$$ \mathrm { \Delta V } _ { \mathrm { C - O _ { 1 } A _ { 1 } B _ { 1 } } } = \frac { 1 } { 3 } S _ { \Delta \mathrm { O _ { 1 } A _ { 1 } B _ { 1 } } } \cdot h = \frac { \sqrt { 3 } } { 1 2 } $$
> ② 设过点 $\mathtt { B } _ { 1 }$ 的母线与下底面交于点B，则 $\mathrm { { B B _ { 1 } / / A A _ { 1 } } }$
所以 $\angle C \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { B }$ 或其补角为直线 $\mathtt { B } _ { 1 } \mathtt { C }$ 与 $\mathrm { \ A A _ { 1 } }$ 所成的角.
由 $\widehat { \mathrm { A C } }$ 长为 $\frac { 2 \pi } { 3 }$，可知 $\angle \mathrm { A O C } = \frac { 2 \pi } { 3 }$
又 $\angle A { \mathsf { O B } } = \angle \mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { O } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } = \frac { \pi } { 3 }$，所以 $\angle C O B = \frac { \pi } { 3 }$
从而 $\Delta C O B$ 为等边三角形，得 $\mathrm { C B } = 1$
因为 $\mathtt { B } _ { 1 } \mathtt { B } \perp$ 平面AOC，所以 $\mathtt { B } _ { 1 } \mathtt { B } \bot \mathtt { C B }$ .
在 $\Delta \mathrm { C B } _ { 1 } \mathrm { B }$ 中，因为 $\angle \mathrm { B _ { 1 } B C } = \frac { \pi } { 2 }$ , CB=1, $\mathtt { B } _ { 1 } \mathtt { B } = 1$，所以 $\angle C \mathrm { B } _ { 1 } \mathrm { B } = \frac { \pi } { 4 }$
从而直线 $\mathtt { B } _ { 1 } \mathtt { C }$ 与 $\mathbf { A A } _ { 1 }$ 所成的角的大小为 $\frac { \pi } { 4 }$
考点：1.几何体的体积；2.空间角.