2016 上海卷 数学

8.4 个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 $\_\_\_\_$ ；（结果用数值表示）

无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 2 ，公比为 $\frac{1}{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项和为 $\_\_\_\_$ ；

若 $2+i$（ $i$ 为虚数单位）是关于 $x$ 的实系数一元二次方程 $x^{2}+a x+5=0$ 的一个虚根，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ；

函数 $y=x^{2}-2 x+1$ 在区间 $[0, m]$ 上的最小值为 0 ，最大值为 1 ，则实数 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ；

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A , B$ 是圆 $x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 上的两个动点，且满足 $|A B|=2 \sqrt{3}$ ，则 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ；

二．选择题（本大题共 12 题，每题 3 分，共 36 分）

满足 $\sin \alpha>0$ 且 $\tan \alpha<0$ 的角 $\alpha$ 属于
A．第一象限
$B$ ．第二象限
C．第三象限
$D$ ．第四象限；

17．已知向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(1,2)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影为（ ）

18．设直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，直线 $m$ 在平面 $\alpha$ 上，那么（）
A．直线 $l$ 平行于直线 $m$
B．直线 $l$ 与直线 $m$ 异面
$C$ ．直线 $l$ 与直线 $m$ 没有公共点
D．直线 $l$ 与直线 $m$ 不垂直

19．用数学归纳法证明等式 $1+2+3+\ldots+2 n=2 n^{2}+n\left(n \in N^{*}\right)$ 的第（ $i i$ ）步中，假设 $n=k$时原等式成立，那么在 $n=k+1$ 时，需要证明的等式为（ ）

20．关于双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 与 $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1$ 的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）

21．设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $R$ ，则＂$f(0)=0$＂是＂$y=f(x)$ 为奇函数＂的（ ）

22．下列关于实数 $a , b$ 的不等式中，不恒成立的是（）

23．设单位向量 $\overrightarrow{e_{1}}$ 与 $\overrightarrow{e_{2}}$ 既不平行也不垂直，对非零向量 $\vec{a}=x_{1} \overrightarrow{e_{1}}+y_{1} \overrightarrow{e_{2}}, \vec{b}=x_{2} \overrightarrow{e_{1}}+y_{2} \overrightarrow{e_{2}}$ ，有结论：①若 $x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=0$ ，则 $\vec{a} \| \vec{b}$ ；②若 $x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0$ ，则 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ；关于以上两个结论，正确的判断是（ ）

24．对于椭圆 $C_{(a, b)}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0, a \neq b)$ ，若点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 满足 $\frac{x_{0}{ }^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}{ }^{2}}{b^{2}}<1$ ，则称该点在椭圆 $C_{(a, b)}$ 内，在平面直角坐标系中，若点 $A$ 在过点 $(2,1)$ 的任意椭圆 $C_{(a, b)}$ 内或椭圆 $C_{(a, b)}$ 上，则满足条件的点 $A$ 构成的图形为

25．如图，已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $9 \sqrt{3}$ ，底面边长为 3 ，求异面直线 $B C_{1}$ 与 $A C$ 所成的角的大小；

26．已知函数 $f(x)=\sin x+\sqrt{3} \cos x$ ，求 $f(x)$ 的最小正周期及最大值，并指出 $f(x)$ 取得最大值时 $x$ 的值；

27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点 $F$ 处，已知灯口直径是 $24 c m$ ，灯深 $10 c m$ ，求灯泡与反射镜的顶点 $O$ 的距离；

28．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 2 的等差数列；

（1）若 $a_{1} , a_{3} , a_{4}$ 成等比数列，求 $a_{1}$ 的值；
②设 $a_{1}=-19$ ，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=1, b_{n+1}-b_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ ，记 $c_{n}=S_{n}+2^{n-1} \cdot b_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的最小值 $c_{n_{0}}$ ；（即 $c_{n_{0}} \leq c_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立）