在 V A B C 中，内角 A, B, C 所对的边分别…——2019 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
在 $\mathrm{V} A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b+c=2 a, 3 c \sin B=4 a \sin C$ ．
（I）求 $\cos B$ 的值；
（II）求 $\sin \left(2 B+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值．
【答案】（I）$-\frac{1}{4}$ ；
（II）$-\frac{3 \sqrt{5}+7}{16}$ ．
【解析】
【分析】
（I）由题意结合正弦定理得到 $a, b, c$ 的比例关系，然后利用余弦定理可得 $\cos B$ 的值
（II）利用二倍角公式首先求得 $\sin 2 B, \cos 2 B$ 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 $a=2$ 的值．

【详解】（I）在 $\bigvee A B C$ 中，由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 得 $b \sin C=c \sin B$ ，
又由 $3 c \sin B=4 a \sin C$ ，得 $3 b \sin C=4 a \sin C$ ，即 $3 b=4 a$ ．
又因为 $b+c=2 a$ ，得到 $b=\frac{4}{3} a, c=\frac{2}{3} a$ ．
由余弦定理可得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a^{2}+\frac{4}{9} a^{2}-\frac{16}{9} a^{2}}{2 \cdot a \cdot \frac{2}{3} a}=-\frac{1}{4}$ ．
（II）由（I）可得 $\sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，

从而 $\sin 2 B=2 \sin B \cos B=-\frac{\sqrt{15}}{8}, \cos 2 B=\cos ^{2} B-\sin ^{2} B=-\frac{7}{8}$ ．
故 $\sin \left(2 B+\frac{\pi}{6}\right)=\sin 2 B \cos \frac{\pi}{6}+\cos 2 B \sin \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{15}}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{7}{8} \times \frac{1}{2}=-\frac{3 \sqrt{5}+7}{16}$ ．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查计算求解能力．