2023_天津卷
14. 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle A = 60^{\circ}$ , $BC = 1$ , 点 $D$ 为 $AB$ 的中点, 点 $E$ 为 $CD$ 的中点, 若设 $\overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{AC} = \vec{b}$ , 则 $\overrightarrow{AE}$ 可用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示为\_\_\_\_; 若 $\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}$ , 则 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$ 的最大值为\_\_\_\_. 【答案】 ①. $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ ②. $\frac{13}{24}$
$\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$ ; $\frac{13}{24}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合 $E$ 为 $CD$ 的中点进行求解；空2：用 $\vec{a},\vec{b}$ 表示出 $\overrightarrow{AF}$ ，结合上一空答案，于是 $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AF}$ 可由 $\vec{a},\vec{b}$ 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为 $E$ 为 $CD$ 的中点，则 $\overrightarrow{ED} +\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{0}$ ，可得 $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{AE} +\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AD}\\ \overrightarrow{AE} +\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AC} \end{array} \right.$
两式相加，可得到 $2\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}$ ，
即 $2\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ ，则 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ ;
空2：因为 $\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ ，则 $2\overrightarrow{FB} +\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{0}$ ，可得 $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{AF} +\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{AF} +\overrightarrow{FB} = \overrightarrow{AB} \end{array} \right.$
得到 $\overrightarrow{AF} +\overrightarrow{FC} +2\left(\overrightarrow{AF} +\overrightarrow{FB}\right) = \overrightarrow{AC} +2\overrightarrow{AB}$
即 $3\overrightarrow{AF} = 2\vec{a} +\vec{b}$ ，即 $\overrightarrow{AF} = \frac{2}{3}\vec{a} +\frac{1}{3}\vec{b}.$
于是 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = \left(\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}\right) \cdot \left(\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}\right) = \frac{1}{12} \left(2 \vec{a}^2 + 5 \vec{a} \cdot \vec{b} + 2 \vec{b}^2\right)$ .
记 $AB = x, AC = y$
$$ \overrightarrow {A E} \cdot \overrightarrow {A F} = \frac {1}{1 2} \left(2 \vec {a} ^ {2} + 5 \vec {a} \cdot \vec {b} + 2 \vec {b} ^ {2}\right) = \frac {1}{1 2} \left(2 x ^ {2} + 5 x y \cos 6 0 ^ {\circ} + 2 y ^ {2}\right) = \frac {1}{1 2} \left(2 x ^ {2} + \frac {5 x y}{2} + 2 y ^ {2}\right) $$
在 $\triangle ABC$ 中，根据余弦定理： $BC^{2} = x^{2} + y^{2} - 2xy\cos 60^{\circ} = x^{2} + y^{2} - xy = 1$
于是 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = \frac{1}{12} \left( 2xy + \frac{5xy}{2} + 2 \right) = \frac{1}{12} \left( \frac{9xy}{2} + 2 \right)$ ,
由 $x^{2} + y^{2} - xy = 1$ 和基本不等式， $x^{2} + y^{2} - xy = 1 \geq 2xy - xy = xy$
故 $xy \leq 1$ ，当且仅当 $x = y = 1$ 取得等号，
则 $x = y = 1$ 时， $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$ 有最大值 $\frac{13}{24}$
故答案为： $\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$ ; $\frac{13}{24}$ .
