过原点的一条直线与圆 C: (x + 2)^2 + y^2…——2023 高考数学第 12 题答案解析

【答案】6

【解析】

【分析】根据圆 $(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 和曲线 $y^{2}=2px$ 关于x轴对称，不妨设切线方程为y=kx，k>0，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出.

【详解】易知圆 $(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 和曲线 $y^{2}=2px$ 关于x轴对称，不妨设切线方程为y=kx，k>0，所以 $\frac{|2k|}{\sqrt{1 + k^2}} = \sqrt{3}$ ，解得： $k = \sqrt{3}$ ，由 $\begin{cases} y = \sqrt{3}x \\ y^2 = 2px \end{cases}$ 解得： $\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x = \frac{2p}{3} \\ y = \frac{2\sqrt{3}p}{3} \end{cases}$ ，所以 $|OP| = \sqrt{\left(\frac{2p}{3}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}p}{3}\right)^2} = \frac{4p}{3} = 8$ ，解得： $p = 6$ 。当 $k = -\sqrt{3}$ 时，同理可得。故答案为：6。