（13分）（2010•北京）已知函数 f(x)=2 cos…——2010 高考数学第 15 题答案解析

【考点】三角函数的最值；二倍角的余弦。
【专题】三角函数的求值．
【分析】（I）把 $\mathrm{x}=\frac{\pi}{3}$ 代入到 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 中，利用特殊角的三角函数值求出即可；
（II）利用同角三角函数间的基本关系把 $\sin ^{2} \mathrm{x}$ 变为 $1-\cos ^{2} \mathrm{x}$ ，然后利用二倍角的余弦函数公式把 $\cos 2 x$ 变为 $2 \cos ^{2} x-1$ ，得到 $f(x)$ 是关于 $\cos x$ 的二次函数，利用配方法把 $f(x)$ 变成二次函数的顶点式，根据 $\cos x$ 的值域，利用二次函数求最值的方法求出 $f(x)$ 的最大值和最小值即可。
【解答】解：（I）$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2 \cos \frac{2 \pi}{3}+\sin ^{2} \frac{\pi}{3}-4 \cos \frac{\pi}{3}=-1+\frac{3}{4}-2=-\frac{9}{4}$ ；
（II）$f(x)=2\left(2 \cos ^{2} x-1\right)+\left(1-\cos ^{2} x\right)-4 \cos x$
$=3 \cos ^{2} \mathrm{x}-4 \cos \mathrm{x}-1$
$=3\left(\cos x-\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{7}{3}, x \in R$ ，
因为 $\cos x \in[-1,1]$ ，
所以当 $\cos x=-1$ 时，$f(x)$ 取最大值 6 ；当 $\cos x=\frac{2}{3}$ 时，取最小值 $-\frac{7}{3}$ ．

【点评】考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值 ，此题以三角函数为平台，考查二次函数求最值的方法。