【答案】（1） $F = \frac { B ^ { 2 } L ^ { 2 } \nu _ { 0 } } { 2 R }$ ，方向水平向左；（2）① $q = \frac { m \nu _ { 0 } } { 3 B L }$ ，② $x = \frac { 2 m \nu _ { 0 } R } { 3 B ^ { 2 } L ^ { 2 } }$ ；③ $2 \leq k < 3$
【解析】
【详解】（1）细金属杆M以初速度 $\nu _ { 0 }$ 向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为
$$
E = B L \nu_ {0}
$$
电流方向为 $a b$ ，电流的大小为
$$
I = \frac {E}{2 R}
$$
则所受的安培力大小为
$$
F = B I L = \frac {B ^ {2} L ^ {2} v _ {0}}{2 R}
$$
安培力的方向由左手定则可知水平向左；
（2）①金属杆N在磁场内运动过程中，由动量定理有
$$
B \bar {I} L \cdot \Delta t = m \cdot \frac {v _ {0}}{3} - 0
$$
且
$$
q = \overline {{I}} \cdot \Delta t
$$
联立解得通过回路的电荷量为
$$
q = \frac {m v _ {0}}{3 B L}
$$
②设两杆在磁场中相对靠近的位移为Dx，有
$$
\overline{I} = \frac{\overline{E}}{2R}
$$
$$
\overline {{E}} = \frac {B L \cdot \Delta x}{\Delta t}
$$
整理可得
$$
q = \frac {B L \cdot \Delta x}{2 R}
$$
联立可得
$$
\Delta x = \frac{2mv_0R}{3B^2L^2}
$$
若两杆在磁场内刚好相撞，N 到ab的最小距离为
$$
x = \Delta x = \frac {2 m v _ {0} R}{3 B ^ {2} L ^ {2}}
$$
（3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N到cd 距离与第（2）问初始时刻的相同、到的$a b$ 的距离为 $k x ( k > 1 )$ ，则N到ab边的速度大小恒为 $\frac { \nu _ { 0 } } { 3 }$ ，根据动量守恒定律可知
$$
m v _ {0} = m v _ {1} + m \cdot \frac {v _ {0}}{3}
$$
解得N出磁场时，M的速度大小为
$$
v _ {1} = \frac {2}{3} v _ {0}
$$
由题意可知，此时M到cd边的距离为
$$
s = (k - 1) x
$$
若要保证M出磁场后不与N相撞，则有两种临界情况：
①M减速到 $\frac { \nu _ { 0 } } { 3 }$ 时出磁场，速度刚好等于N的速度，一定不与N相撞，对M根据动量定理有
$$
\begin{array}{l} B \overline {{I _ {1}}} L \cdot \Delta t _ {1} = m \cdot \frac {2}{3} v _ {0} - m \cdot \frac {v _ {0}}{3} \\ q _ {1} = \overline {{I _ {1}}} \cdot \Delta t _ {1} = \frac {B L \cdot (k - 1) x}{2 R} \end{array}
$$
联立解得
$$
k = 2
$$
②M运动到cd边时，恰好减速到零，则对M由动量定理有
$$
B \overline {{I _ {2}}} L \cdot \Delta t _ {2} = m \cdot \frac {v _ {0}}{3} - 0
$$
同理解得
$$
k = 3
$$
综上所述，M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为
$$
2 \leq k < 3
$$
