2013_新课标II卷
5．（5分）设椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 ${ \sf I F } _ { 1 }$ 、 $\mathsf { F } _ { 2 } ;$ ，P是C上的点 $\mathsf { P F } _ { 2 } \bot \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 }$ $\angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = 3 0 ^ { \circ }$ ，则C的离心率为（ ）A $\frac { \sqrt { 6 } } { 6 }$ B $\frac 1 3$ C $\frac { 1 } { 2 }$ D $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K4：椭圆的性质
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设 $\left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| = \mathsf { X }$ ，在直角三角形 ${ \mathsf { P F } } _ { 1 } { \mathsf { F } } _ { 2 } { \mathsf { F } } _ { }$ 中，依题意可求得 $\left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right|$ |与 $\left| \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \right|$ ，利用椭圆离心率的性质即可求得答案
【解答】解： $\vert \mathsf { P F } _ { 2 } \vert = \mathsf { x } , ~ { \boldsymbol { \because } } \mathsf { P F } _ { 2 } \bot \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } , ~ \angle \mathsf { P F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } { = } { 3 } 0 ^ { \circ }$
∴ $\left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| = 2 \mathsf { x } , \quad \left| \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \right| = \sqrt { 3 } \mathsf { x }$
又 $\left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| + \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| { = } 2 \mathsf { a } , \quad \left| \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \right| { = } 2 \mathsf { c }$
∴2a=3x， $2 c = \sqrt { 3 }$
$\therefore C$ 的离心率为： $\mathtt { e } = \frac { 2 \mathtt { c } } { 2 \mathtt { a } } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$
故选：D
【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得 $\left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right|$ 与 $\left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right|$ $\left| \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \right|$ 是关键，考查理解与应用能力，属于中档题