2023_北京卷
14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 $a _ { 1 } = 1 , a _ { 5 } = 1 2 , a _ { 9 } = 1 9 2$ ，则 $a _ { 7 } =$ \_；数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 所有项的和为
(1) 48; (2) 384
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 ①. 48 ②. 384
【解析】
**方法一**：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解d q, ，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求 $a _ { 7 } , a _ { 3 }$ ，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
**方法一**：设前3项的公差为 $d$ ，后7项公比为 $q > 0$
则 $q ^ { 4 } = \frac { a _ { 9 } } { a _ { 5 } } = \frac { 1 9 2 } { 1 2 } = 1 6$ ，且 $q > 0$ ，可得 $q = 2$
则 $a _ { 3 } = 1 + 2 d = \frac { a _ { 5 } } { q ^ { 2 } }$ ，即 $1 + 2 d = 3$ ，可得 $d = 1$
空 1：可得 $a _ { 3 } = 3 , a _ { 7 } = a _ { 3 } q ^ { 4 } = 4 8$
空2： $a _ { 1 } + a _ { 2 } + \mathsf { L \ } + a _ { 9 } = 1 + 2 + 3 + 3 \times 2 + \cdots + 3 \times 2 ^ { 6 } = 3 + { \frac { 3 { \bigl ( } 1 - 2 ^ { 7 } { \bigr ) } } { 1 - 2 } } = 3 8 4$
**方法二**：空1：因为 $\left\{ a _ { n } \right\} , 3 \leq n \leq 7$ 为等比数列，则 $a _ { 7 } ^ { 2 } = a _ { 5 } a _ { 9 } = 1 2 \times 1 9 2 = 4 8 ^ { 2 }$
且 $a _ { n } > 0$ ，所以 $a _ { 7 } = 4 8$ ；
又因为 $a _ { 5 } ^ { 2 } = a _ { 3 } a _ { 7 }$ ，则 $a _ { 3 } = \frac { a _ { 5 } ^ { 2 } } { a _ { 7 } } = 3$ ；
空2：设后7项公比为 $q > 0$ ，则 $q ^ { 2 } = \frac { a _ { 5 } } { a _ { 3 } } = 4$ ，解得 $q = 2$
可得 $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } = { \frac { 3 \left( a _ { 1 } + a _ { 3 } \right) } { 2 } } = 6 , a _ { 3 } + a _ { 4 } + a _ { 5 } + a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 } + a _ { 9 } = { \frac { a _ { 3 } - a _ { 9 } q } { 1 - q } } = { \frac { 3 - 1 9 2 \times 2 } { 1 - 2 } } = 3 8 1 .$
所以 $a _ { 1 } + a _ { 2 } + \mathsf { L } \ + a _ { 9 } = 6 + 3 8 1 - a _ { 3 } = 3 8 4$
故答案为：48；384.