双曲线 x ^ 2 a ^ 2 - y ^ 2 b ^ 2…——2024 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】可利用 $\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }$ 三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设 $\left| P F _ { 2 } \right| = m$ ，由面积公式求出m，由勾股定理得出c，结合第一定义再求出a.

【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限， $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 9 0 ^ { \circ }$ ，设 $\left| P F _ { 2 } \right| = m$

$\angle P F _ { 2 } F _ { 1 } = \theta _ { 1 } , \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = \theta _ { 2 }$ ，由 $k _ { P F _ { 3 } } = \tan \theta _ { 1 } = 2$ ，求得 $\sin \theta _ { 1 } = \frac { 2 } { \sqrt { 5 } }$

因为 $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 9 0 ^ { \circ }$ ，所以 $k _ { P F _ { 1 } } \cdot k _ { P F _ { 2 } } = - 1$ ，求得 $k _ { P F _ { 1 } } = - \frac { 1 } { 2 }$ ，即 $\tan \theta _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 }$

$\sin \theta _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } }$ ，由正弦定理可得： $\vert P F _ { 1 } \vert : \vert P F _ { 2 } \vert : \vert F _ { 1 } F _ { 2 } \vert = \sin \theta _ { 1 } : \sin \theta _ { 2 } : \sin 9 0 ^ { \circ } = 2 : 1 : { \sqrt { 5 } }$

则由 $\left| P F _ { 2 } \right| = m$ 得 $\left| P F _ { 1 } \right| = 2 m , \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| = 2 c = \sqrt { 5 } m$

由 $S _ { _ { \Delta P F _ { 1 } F _ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \big | } P F _ { 1 } { \big | } \cdot { \big | } P F _ { 2 } { \big | } = { \frac { 1 } { 2 } } m \cdot 2 m = 8$ 得 $m = 2 \sqrt { 2 }$

则 $\left| P F _ { 2 } \right| = 2 \sqrt { 2 } , \left| P F _ { 1 } \right| = 4 \sqrt { 2 } , \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| = 2 c = 2 \sqrt { 1 0 } , c = \sqrt { 1 0 }$

由双曲线第一定义可得： $\scriptstyle \left| P F _ { 1 } \right| - \left| P F _ { 2 } \right| = 2 a = 2 { \sqrt { 2 } } \ , a = { \sqrt { 2 } } , b = { \sqrt { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } } = { \sqrt { 8 } }$

所以双曲线的方程为 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { y ^ { 2 } } { 8 } } = 1$

故选：C