【答案】（1） $\scriptstyle H = 0 . 8 \mathrm { m }$ ；② $0 . 6 2 5 \mathrm { m } \leq s \leq 1 . 7 0 7 \mathrm { m }$ ；（3） -6J ；（4）9.02kg m/s×
【解析】
【详解】①由题意可知滑块C静止滑下过程根据动能定理有
$$
m _ {\mathrm{C}} g H = \frac {1}{2} m _ {\mathrm{C}} v ^ {2}
$$
代入数据解得
$$
H = 0. 8 \mathrm{m}
$$
（2）滑块C刚滑上B时可知C受到水平向左的摩擦力，为
$$
f _ {2} = \mu_ {2} m _ {\mathrm{C}} g
$$
木板B受到C的摩擦力水平向右，为
$$
f _ {2} ^ {\prime} = \mu_ {2} m _ {\mathrm{C}} g
$$
B受到地面的摩擦力水平向左，为
$$
f _ {1} = \mu_ {1} \big (m _ {\mathrm{C}} + m _ {\mathrm{B}} \big) g
$$
所以滑块C的加速度为
$$
a _ {\mathrm{C}} = \frac {\mu_ {2} m _ {\mathrm{C}} g}{m _ {\mathrm{C}}} = \mu_ {2} g = 5 \mathrm{m/s} ^ {2}
$$
木板B的加速度为
$$
a _ {\mathrm{B}} = \frac {\mu_ {2} m _ {\mathrm{C}} g - \mu_ {1} \left(m _ {\mathrm{C}} + m _ {\mathrm{B}}\right) g}{m _ {\mathrm{B}}} = 1 \mathrm{m/s} ^ {2}
$$
设经过时间t ，B和C共速，有
$$
4 - 5 \times t _ {1} = 1 + 1 \times t _ {1}
$$
代入数据解得
$$
t _ {1} = 0. 5 \mathrm{s}
$$
木板 B 的位移
$$
S _ {\mathrm{B1}} = 1 \times 0. 5 + \frac {1}{2} \times 1 \times 0. 5 ^ {2} = 0. 6 2 5 \mathrm{m}
$$
共同的速度
$$
v _ {\text {共} 1} = 1 + 1 \times 0. 5 \mathrm{m/s} = 1. 5 \mathrm{m/s}
$$
此后B和C共同减速，加速度大小为
$$
a _ {\mathrm{BC}} = \frac {\mu_ {1} \left(m _ {\mathrm{B}} + m _ {\mathrm{C}}\right) g}{m _ {\mathrm{B}} + m _ {\mathrm{C}}} = 1 \mathrm{m/s} ^ {2}
$$
设再经过 $t _ { 2 }$ 时间，物块A 恰好祖上模板B，有
$$
0. 6 2 5 + \left(1. 5 t _ {2} - \frac {1}{2} \times 1 \times t _ {2} ^ {2}\right) = 1 \times \left(0. 5 + t _ {2}\right)
$$
整理得
$$
t _ {2} ^ {2} - t _ {2} - 0. 2 5 = 0
$$
解得
$$
t _ {2} = \frac {1 + \sqrt {2}}{2} \mathrm{s}, t _ {2} = \frac {1 - \sqrt {2}}{2} \mathrm{s} (\text {舍去})
$$
此时B的位移
$$
S _ {\mathrm{B2}} = 0. 6 2 5 + \left(1. 5 t _ {2} - \frac {1}{2} \times 1 \times t _ {2} ^ {2}\right) = 1 \times \left(0. 5 + t _ {2}\right) = 1 + \frac {\sqrt {2}}{2} \approx 1. 7 0 7 \mathrm{m}
$$
共同的速度
$$
v _ {\text {共} 2} = v _ {\text {共} 1} - a _ {\mathrm{BC}} \times t _ {2} = 1. 5 - 1 \times \frac {1 + \sqrt {2}}{2} \mathrm{m/s} = \left(1 - \frac {\sqrt {2}}{2}\right) \mathrm{m/s}
$$
综上可知满足条件的s 范围为
$$
0. 6 2 5 \mathrm{m} \leq s \leq 1. 7 0 7 \mathrm{m}
$$
> ③由于
$$
s = 0. 4 8 \mathrm{m} < 0. 6 2 5 \mathrm{m}
$$
所以可知滑块C与木板B没有共速，对于木板B，根据运动学公式有
$$
0. 4 8 = 1 \times t _ {0} + \frac {1}{2} \times 1 \times t _ {0} ^ {2}
$$
整理后有
$$
t _ {0} ^ {2} + 2 t _ {0} - 0. 9 6 = 0
$$
解得
$$
t _ {0} = 0. 4 \mathrm{s}, t _ {0} ^ {\prime} = - 2. 4 \mathrm{s} (\text {舍去})
$$
滑块C在这段时间的位移
$$
s _ {\mathrm{C}} = 4 \times 0. 4 - \frac {1}{2} \times 5 \times 0. 4 ^ {2} \mathrm{m} = 1. 2 \mathrm{m}
$$
所以摩擦力对C做的功
$$
W = - f _ {2} s _ {\mathrm{C}} = - \mu_ {2} m _ {\mathrm{C}} g s _ {\mathrm{C}} = - 6 \mathrm{J}
$$
（4）因为木板 B足够长，最后的状态一定会是 C与B静止，物块 A 向左匀速运动。木板 B向右运动0.48m时，有
$$
v _ {\mathrm{B0}} = 1 + 1 \times 0. 4 \mathrm{m/s} = 1. 4 \mathrm{m/s}
$$
$$
v _ {\mathrm{C0}} = 4 - 5 \times 0. 4 \mathrm{m/s} = 2 \mathrm{m/s}
$$
$$
s _ {\mathrm{A}} = 1 \times 0. 4 \mathrm{m} = 0. 4 \mathrm{m}
$$
此时A、B之间的距离为
$$
s = 0. 4 8 \mathrm{m} - 0. 4 \mathrm{m} = 0. 0 8 \mathrm{m}
$$
由于 $\mathrm { B }$ 与挡板发生碰撞不损失能量，故将原速率反弹。接着B向左做匀减速运动，可得加速度大小
$$
a _ {\mathrm{B}} ^ {\prime} = \frac {\mu_ {2} m _ {\mathrm{C}} g + \mu_ {1} \left(m _ {\mathrm{B}} + m _ {\mathrm{C}}\right) g}{m _ {\mathrm{B}}} = 4 \mathrm{m} / \mathrm{s} ^ {2}
$$
物块A 和木板B相向运动，设经过 $t _ { 3 }$ 时间恰好相遇，则有
$$
1 \times t _ {3} + \left(1. 4 t _ {3} - \frac {1}{2} \times 4 \times t _ {3} ^ {2}\right) = 0. 0 8
$$
整理得
$$
t _ {3} ^ {2} - 1. 2 t _ {3} + 0. 0 4 = 0
$$
解得
$$
t _ {3} = \frac {3 - 2 \sqrt {2}}{5} \mathrm{s}, t _ {3} ^ {\prime} = \frac {3 + 2 \sqrt {2}}{5} \mathrm{s} (\text {舍去})
$$
此时有
$$
v _ {\mathrm{B1}} = 1. 4 - 4 \times \frac {3 - 2 \sqrt {2}}{5} \mathrm{m/s} = \frac {8 \sqrt {2} - 5}{5} \mathrm{m/s}
$$
方向向左；
$$
v _ {\mathrm{C1}} = 2 - 5 \times \frac {3 - 2 \sqrt {2}}{5} \mathrm{m/s} = \left(2 \sqrt {2} - 1\right) \mathrm{m/s}
$$
方向向右。
接着A、B发生弹性碰撞，碰前A 的速度为v<sub>0</sub>=1m/s，方向向右，以水平向右为正方向，则有
$$
m _ {\mathrm{A}} v _ {0} + m _ {\mathrm{B}} \left(- v _ {\mathrm{B1}}\right) = m _ {\mathrm{A}} v _ {\mathrm{A}} + m _ {\mathrm{B}} v _ {\mathrm{B}}
$$
$$
\frac {1}{2} m _ {\mathrm{A}} v _ {0} ^ {2} + \frac {1}{2} m _ {\mathrm{B}} \left(- v _ {\mathrm{B1}}\right) ^ {2} = \frac {1}{2} m _ {\mathrm{A}} v _ {\mathrm{A}} ^ {2} + \frac {1}{2} m _ {\mathrm{B}} v _ {\mathrm{B}} ^ {2}
$$
代入数据解得
$$
v _ {\mathrm{A}} = - \frac {3 2 \sqrt {2} - 2 5}{1 5} \mathrm{m/s} \approx - 2. 0 2 \mathrm{m/s}
$$
$$
v _ {\mathrm{B}} = \frac {1 5 - 8 \sqrt {2}}{1 5} \mathrm{m/s} \approx 0. 2 4 6 \mathrm{m/s}
$$
而此时
$$
v _ {\mathrm{C}} = v _ {\mathrm{C1}} = 2 - 5 \times \frac {3 - 2 \sqrt {2}}{5} \mathrm{m/s} = \left(2 \sqrt {2} - 1\right) \mathrm{m/s} \approx 1. 8 3 \mathrm{m/s}
$$
物块 A 向左的速度大于木板 B 和 C 向右的速度，由于摩擦力的作用，最后 B 和 C 静止，A 向左匀速运动，系统的初动量
$$
p _ {\text {初}} = \left(m _ {A} + m _ {B}\right) v _ {0} + m _ {C} v = 7 \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s}
$$
末动量
$$
p _ {\text {末}} = m _ {\mathrm{A}} v _ {\mathrm{A}} = - 2. 0 2 \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s}
$$
则整个过程动量的变化量
$$
\Delta p = p _ {\text {末}} - p _ {\text {初}} = - 9. 0 2 \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}
$$
即大小为 9.02kg⋅m/s。
