（12分）如图，四棱锥 P-A B C D 中，底面 A…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．
【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题．
【分析】（I）因为 $\angle D A B=60^{\circ}, A B=2 A D$ ，由余弦定理得 $B D=\sqrt{3} \mathrm{AD}$ ，利用勾股定理证明 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AD}$ ，根据 $\mathrm{PD} \perp$ 底面 ABCD ，易证 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{PD}$ ，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证 $\mathrm{PA} \perp \mathrm{BD}$ ；
（II）要求棱锥 $\mathrm{D}-\mathrm{PBC}$ 的高。只需证 $\mathrm{BC} \perp$ 平面 PBD ，然后得平面 $\mathrm{PBC} \perp$ 平面 PBD ，作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{PB}$ 于 E ，则 $\mathrm{DE} \perp$ 平面 PBC ，利用勾股定理可求得 DE 的长．

【解答】解：（I）证明：因为 $\angle D A B=60^{\circ}, A B=2 A D$ ，由余弦定理得 $B D=\sqrt{3} A D$ ，从而 $B D^{2}+A D^{2}=A B^{2}$ ，故 $B D \perp A D$

又 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，可得 $B D \perp P D$
所以 $\mathrm{BD} \perp$ 平面 PAD ．故 $\mathrm{PA} \perp \mathrm{BD}$ ．
（II）解：作 $D E \perp P B$ 于 $E$ ，已知 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，
则 $P D \perp B C$ ，由（I）知，$B D \perp A D$ ，又 $B C \| A D$ ，
$\therefore \mathrm{BC} \perp \mathrm{BD}$ ．
故 $\mathrm{BC} \perp$ 平面 $\mathrm{PBD}, ~ \mathrm{BC} \perp \mathrm{DE}$ ，
则 $\mathrm{DE} \perp$ 平面 PBC ．
由题设知 $\mathrm{PD}=1$ ，则 $\mathrm{BD}=\sqrt{3}, ~ \mathrm{~PB}=2$ 。
根据 $\mathrm{DE} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PD} \cdot \mathrm{BD}$ ，得 $\mathrm{DE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
即棱锥D－PBC的高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．