（13分）在 A B C 中， a^ 2 +c^ 2 =b…——2016 高考数学第 15 题答案解析

【考点】HU：解三角形．
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（I）根据已知和余弦定理，可得 $\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，进而得到答案；
（II）由（I）得： $\mathrm{C}=\frac{3 \pi}{4}-\mathrm{A}$ ，结合正弦型函数的图象和性质，可得 $\sqrt{2} \cos \mathrm{~A}+\cos \mathrm{C}$的最大值．

【解答】解：（I）∵ 在 $\triangle A B C$ 中，$a^{2}+c^{2}=b^{2}+\sqrt{2} a c$ ．
$\therefore a^{2}+c^{2}-b^{2}=\sqrt{2} a c$ ．
$\therefore \cos \mathrm{B}=\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2}}{2 \mathrm{ac}}=\frac{\sqrt{2} \mathrm{ac}}{2 \mathrm{ac}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore B=\frac{\pi}{4}$

（II）由（I）得： $\mathrm{C}=\frac{3 \pi}{4}-\mathrm{A}$ ，
$\therefore \sqrt{2} \cos \mathrm{~A}+\cos \mathrm{C}=\sqrt{2} \cos \mathrm{~A}+\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-\mathrm{A}\right)$
$=\sqrt{2} \cos \mathrm{~A}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \mathrm{~A}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \mathrm{~A}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \mathrm{~A}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \mathrm{~A}$
$=\sin \left(A+\frac{\pi}{4}\right)$ ．
$\because A \in\left(0, \frac{3 \pi}{4}\right)$,
$\therefore A+\frac{\pi}{4} \in\left(\frac{\pi}{4}, \pi\right)$,
故当 $A+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ 时， $\sin \left(A+\frac{\pi}{4}\right)$ 取最大值 1 ，
即 $\sqrt{2} \cos \mathrm{~A}+\cos \mathrm{C}$ 的最大值为 1 ．
【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档。