2016 北京卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）已知集合 $A=\{x| | x \mid<2\}$ ，集合 $B=\{-1,0,1,2,3\}$ ，则 $A \cap B=$

2．（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y \leqslant 0 \\ x+y \leqslant 3 \\ x \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $2 x+y$ 的最大值为

3．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1 ，则输出的 k 值为（） 

4．（5分）设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是向量，则＂$|\vec{a}|=|\vec{b}|$＂是＂$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$＂的（ ）

5．（5 分）已知 $x, y \in R$ ，且 $x>y>0$ ，则（ ）

6．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）  正视图  侧视图  ## 俯视图

7．（5 分）将函数 $\mathrm{y}=\sin \left(2 \mathrm{x}-\frac{\pi}{3}\right)$ 图象上的点 $\mathrm{P}\left(\frac{\pi}{4}, \mathrm{t}\right)$ 向左平移 $\mathrm{s}(\mathrm{s}>0)$个单位长度得到点 $\mathrm{P}^{\prime}$ ，若 $\mathrm{P}^{\prime}$ 位于函数 $\mathrm{y}=\sin 2 \mathrm{x}$ 的图象上，则（）

8．（5 分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒。每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则

9．（5 分）设 $a \in R$ ，若复数 $(1+i)(a+i)$ 在复平面内对应的点位于实轴上，则 $a=$ $\_\_\_\_$ －1。

10．（5 分）在 $(1-2 x)^{6}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 60 ．（用数字作答）

11．（5 分）在极坐标系中，直线 $\rho \cos \theta-\sqrt{3} \rho \sin \theta-1=0$ 与圆 $\rho=2 \cos \theta$ 交于 $A, B$两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ 2。

12．（5 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1}=6, a_{3}+a_{5}=0$ ，则 $S_{6}=$ 6

13．（5 分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线为正方形 $O A B C$ 的边 $O A$ ， $O C$ 所在的直线，点 $B$ 为该双曲线的焦点．若正方形 $O A B C$ 的边长为 2 ，则 $a=$ 2

14．（5 分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}-3 x, x \leqslant a \\ -2 x, x>a\end{array}\right.$ ． （1）若 $a=0$ ，则 $f(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 2 ； （2）若 $f(x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty,-1$ ）。

15．（13分）在 $\triangle A B C$ 中，$a^{2}+c^{2}=b^{2}+\sqrt{2} a c$ 。 （I）求 $\angle \mathrm{B}$ 的大小； （II）求 $\sqrt{2} \cos \mathrm{~A}+\cos \mathrm{C}$ 的最大值．

16．（13 分）A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）： | A 班 | | | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | | | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | B 班 | | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | | 12 | | C 班 | 3 | 4.5 | 6 | 7.5 | 9 | 10.5 | | 12 | 13.5 | （I）试估计 C 班的学生人数； （II）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙。假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （III）再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7， 9， 8.25 （单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 $\mu_{1}$ ，表格中数据的平均数记为 $\mu_{0}$ ，试判断 $\mu_{0}$ 和 $\mu_{1}$ 的大小．（结论不要求证明）

17．（14分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D, P A \perp P D$ ， $P A=P D, \quad A B \perp A D, \quad A B=1, \quad A D=2, \quad A C=C D=\sqrt{5}$. （I）求证：$P D \perp$ 平面 $P A B$ ； （II）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （III）在棱 PA 上是否存在点 M ，使得 $\mathrm{BM} / /$ 平面 PCD ？若存在，求 $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AP}}$ 的值，若 不存在，说明理由． 

18．（13 分）设函数 $f(x)=x e^{a-x}+b x$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y=(e-1) x+4$ ， （I）求 a ， b 的值； （II）求 $f(x)$ 的单调区间。

19．（14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, A(a, 0), B (0, b), ~ O(0,0), ~ \triangle O A B$ 的面积为 1 ． （I）求椭圆 C 的方程； （II）设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $P A$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $P B$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ．求证：$|A N| \cdot|B M|$ 为定值．

20．（13 分）设数列 $A: a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}(N \geqslant 2)$ 。如果对小于 $n(2 \leqslant n \leqslant N)$ 的每个正整数 $k$ 都有 $a_{k}<a_{n}$ ，则称 $n$ 是数列 $A$ 的一个＂$G$ 时刻＂，记 $G(A)$ 是数列 A 的所有＂ G 时刻＂组成的集合。 （I）对数列 A：－2，2，－1，1，3，写出 $\mathrm{G}(\mathrm{A})$ 的所有元素； （II）证明：若数列 $A$ 中存在 $a_{n}$ 使得 $a_{n}>a_{1}$ ，则 $G(A) \neq \varnothing$ ； （III）证明：若数列 $A$ 满足 $a_{n}-a_{n-1} \leqslant 1(n=2,3, \ldots, N)$ ，则 $G(A)$ 的元素个数不小于 $a_{N}-a_{1}$ ．