设函数 f(x)=ln (1+x)-ln (1-x)，则…——2015 高考数学第 8 题答案解析

【答案】A

【解析】

函数 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$ ，函数的定义域为 $(-1,1)$ ，函数 $f(-x)=\ln (1-x)-\ln (1+x)=-f(x)$ 所以函数是奇函数．

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x^{2}}$ ，在 $(0,1) 上 f^{\prime}(x)>0$ ，所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，故选 A。
【考点定位】利用导数研究函数的性质
【名师点睛】利用导数研究函数 $f(x)$ 在 $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ 内的单调性的步骤：（－1）求 $f^{\prime}(x)$ ；（2）确认 $f^{\prime}(x)$ 在（a，b）内的符号；（3）作出结论：$f^{\prime}(x)>0$ 时为增函数；$f^{\prime}(x)<0$ 时为减函数。研究函数性质时，首先要明确函数定义域。