（19）（本小题满分 13 分）
－如图所示，在多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$，四边形 $A A_{1} B_{1} B, A D D_{1} A_{1}, A B C D$ 均为正方形，$E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中
点，过 $A_{1}, D, E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于 F．
（I）证明：$E F / / B_{1} C$；
（II）求二面角 $E-A_{1} D-B_{1}$ 余弦值．
第19题图
参考答案（I）$E F / / B_{1} C ;($ II $) \frac{\sqrt{6}}{3}$． 【．解析】 试题分析：（I）证明：依据正方形的性质可知 $A_{1} B_{1} / / A B / / D C$，且 $A_{1} B_{1}=A B=D C$，从而 $A_{1} B_{1} C D$ 为平行四边形，则 $B_{1} C / / A_{1} D$，根据线面平行的判定定理知 $B_{1} C / /$ 面 $A_{1} D E$，再由线面平行的性质定理知 $E F / / B_{1} C$．（II）因为四边形 $A A_{1} B_{1} B, A D D_{1} A_{1}, A B C D$ 均为正方形，所以 $A A_{1} \perp A B, A A_{1} \perp A D, A D \perp A B$，且 $A A_{1}=A B=A D$，可以建以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A A_{1}}$ 为 $x$ 轴， $y$ 轴，$z$ 轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面 $A_{1} D E$ 的法向量 $\bar{n}_{1}=\left(r_{1}, s_{1}, t_{1}\right)$。由 $\overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{A_{1} E}, \overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{A_{1} D}$ 得 $r_{1}, s_{1}, t_{1}$ 应满足的方程组 $\left\{\begin{array}{c}0.5 r_{1}+0.5 s_{1}=0 \\ s_{1}-t_{1}=0\end{array},(-1,1,1)\right.$ 为其一组解，所以可取 $\overrightarrow{n_{1}}=(-1,1,1)$。同理 $A_{1} B_{1} C D$ 的法向量 $\overrightarrow{n_{2}}=(0,1,1)$。所以结合图形知二面角 $E-A_{1} D-B$ 的余弦值为 $\frac{\left|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}\right|}{\left|\vec{n}_{1}\right| \cdot\left|\overline{n_{2}}\right|}=\frac{2}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. 试题解析：（I）证明：由正方形的性质可知 $A_{1} B_{1} / / A B / / D C$，且 $A_{1} B_{1}=A B=D C$，所以四边形 $A_{1} B_{1} C D$为平行四边形，从而 $B_{1} C / / A_{1} D$，又 $A_{1} D \subset$ 面 $A_{1} D E, B_{1} C \not \subset$ 面 $A_{1} D E$，于是 $B_{1} C / /$ 面 $A_{1} D E$，又 $B_{1} C \subset$面 $B_{1} C D_{1}$，而面 $A_{1} D E \cap$ 面 $B_{1} C D_{1}=E F$，所以 $E F / / B_{1} C$．  （II）因为四边形 $A A_{1} B_{1} B, A D D_{1} A_{1}, A B C D$ 均为正方形，所以 $A A_{1} \perp A B, A A_{1} \perp A D, A D \perp A B$， $A A_{1}=A B=A D$，以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A A_{1}}$ 为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标 $A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A_{1}(0,0,1), B_{1}(1,0,1), D_{1}(0,1,1)$．而 $E$ 点为 $B_{1} D_{1}$的中点，所以 $E$ 点的坐标为 $(0.5,0.5,1)$． 设面 $A_{1} D E$ 的法向量 $\vec{n}_{1}=\left(r_{1}, s_{1}, t_{1}\right)$。而该面上向量 $\overrightarrow{A_{1} E}=(0.5,0.5,0), \overrightarrow{A_{1} D}=(0,1,-1)$，由 $\overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{A_{1} E}, \overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{A_{1} D}$ 得 $r_{1}, s_{1}, t_{1}$ 应满足的方程组 $\left\{\begin{array}{c}0.5 r_{1}+0.5 s_{1}=0 \\ s_{1}-t_{1}=0\end{array},(-1,1,1)\right.$ 为其一组解，所以可取 $\overrightarrow{n_{1}}=(-1,1,1)$．设面 $A_{1} B_{1} C D$ 的法向量 $\overrightarrow{n_{2}}=\left(r_{2}, s_{2}, t_{2}\right)$，而该面上向量 $\overrightarrow{A_{1} B_{1}}=(1,0,0), \overrightarrow{A_{1} D}=(0,1,-1)$，由此同理可得 $\overline{n_{2}}=(0,1,1)$．所以结合图形知二面角 $E-A_{1} D-B$ 的余弦值为 $\frac{\left|\overline{n_{1}} \cdot \overline{n_{2}}\right|}{\left|\overline{n_{1}}\right| \cdot\left|\overline{n_{2}}\right|}=\frac{2}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$． 【考点定位】1．线面平行的判定定理与性质定理；2．二面角的求解． 【名师点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解。此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在
