15．（5分）直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各顶点都在同一球面上，若 $A B=A C=A A_{1}=2$ ， $\angle B A C=120^{\circ}$ ，则此球的表面积等于 $\_\_\_\_$ $20 \pi$ ．
参考答案$20 \pi$
（5分）直三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2009 高考数学第 15 题答案解析
2009_旧全国 I 卷 (2009·理)
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【考点】LR：球内接多面体．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 $\mathrm{O}^{\prime}$ ，球心为 O ，在 RT $\triangle O B O$＇中，求出球的半径，然后求出球的表面积．
【解答】解：在 $\triangle A B C$ 中 $A B=A C=2, \angle B A C=120^{\circ}$ ，
可得 $\mathrm{BC}=2 \sqrt{3}$
由正弦定理，可得 $\triangle A B C$ 外接圆半径 $r=2$ ，
设此圆圆心为 $O^{\prime}$ ，球心为 $O$ ，在 $R T \triangle O B O^{\prime}$ 中，
易得球半径 $\mathrm{R}=\sqrt{5}$ ，
故此球的表面积为 $4 \pi R^{2}=20 \pi$
故答案为： $20 \pi$
【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力。
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