20．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产。该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 $50 \%$ 。预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 $\boldsymbol{d}$ 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第 $n$ 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 $a_{n}$ 万元。
（1）用 $\boldsymbol{d}$ 表示 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}$ ，并写出 $\boldsymbol{a}_{n+1}$ 与 $\boldsymbol{a}_{n}$ 的关系式；
（2）若公司希望经过 $m\left(m^{3} 3\right)$ 年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上交资金 $\boldsymbol{d}$ 的值（用 $\boldsymbol{m}$ 表示）。
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产。该企业第一年年初…——2012 高考数学第 20 题答案解析
2012_退役省自主命题 (2012·文)
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【解析】（I）由题意得 $a_{1}=2000(1+50 \%)-d=3000-d$ ，
$a_{2}=a_{1}(1+50 \%)-d=\frac{3}{2} a_{1}-d=4500-\frac{5}{2} d$,
$a_{n+1}=a_{n}(1+50 \%)-d=\frac{3}{2} a_{n}-d$ ．
（II）由（I）得
$a_{n}=\frac{3}{2} a_{n-1}-d=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2} a_{n-2}-d\right)-d=\left(\frac{3}{2}\right)^{2} a_{n-2}-\frac{3}{2} d-d=\cdots$
$=\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} a_{1}-d\left[1+\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\cdots+\left(\frac{3}{2}\right)^{n-2}\right]$
整理得 $a_{m}=\left(\frac{3}{2}\right)^{m-1}(3000-d)-2 d\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{m-1}-1\right]=\left(\frac{3}{2}\right)^{m-1}(3000-3 d)+2 d$
由题意 $a_{m}=4000$ ，即 $\left(\frac{3}{2}\right)^{m-1}(3000-3 d)+2 d=4000$ ．
解得 $d=\frac{\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{m}-2\right] \times 1000}{\left(\frac{3}{2}\right)^{m}-1}=\frac{1000\left(3^{m}-2^{m+1}\right)}{3^{m}-2^{m}}$
故该企业每年上缴资金 $d$ 的值为 $\frac{1000\left(3^{m}-2^{m+1}\right)}{3^{m}-2^{m}}$ 时，经过 $m(m \geq 3)$ 年年企业的剩余资金为 4000 万元。
## 【考点定位】数列的综合应用
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