在直角坐标系xOy中，曲线 C_ 1 的参数方程为 arr…——2011 高考数学第 23 题答案解析

【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（I）先设出点 P 的坐标，然后根据点 P 满足的条件代入曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程即可求出曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程；
（II）根据（I）将求出曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的极坐标方程，分别求出射线 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 与 $\mathrm{C}_{1}$ 的交点 A 的极径为 $\rho_{1}$ ，以及射线 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 与 $C_{2}$ 的交点 $B$ 的极径为 $\rho_{2}$ ，最后根据 $|A B|=\left|\rho_{2}-\rho_{1}\right|$求出所求．

【解答】解：（I）设 $P(x, y)$ ，则由条件知 $M\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)$ ．由于 $M$ 点在 $C_{1}$ 上，所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=2 \cos \alpha \\ \frac{y}{2}=2+2 \sin \alpha\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos \alpha \\ y=4+4 \sin \alpha\end{array}\right.$
从而 $\mathrm{C}_{2}$ 的参数方程为
$\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos \alpha \\ y=4+4 \sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数）
（II）曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho=4 \sin \theta$ ，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=8 \sin \theta$ ．

射线 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 与 $\mathrm{C}_{1}$ 的交点 A 的极径为 $\rho_{1}=4 \sin \frac{\pi}{3}$ ，
射线 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 与 $C_{2}$ 的交点 $B$ 的极径为 $\rho_{2}=8 \sin \frac{\pi}{3}$ ．
所以 $|\mathrm{AB}|=\left|\rho_{2}-\rho_{1}\right|=2 \sqrt{3}$ 。
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．