（12）设函数 f(x)= 1 x , g(x)=a x^…——2012 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
（5分）（2012•山东）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}, \mathrm{a} \neq 0)$ 若 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$的图象与 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 图象有且仅有两个不同的公共点 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，则下列判断正确的是
A．当 $a<0$ 时，$x_{1}+x_{2}<0, y_{1}+y_{2}>0$
B．当 $a<0$ 时，$x_{1}+x_{2}>0, y_{1}+y_{2}<0$
C．当 $a>0$ 时，$x_{1}+x_{2}<0, y_{1}+y_{2}<0$
D．当 $a>0$ 时，$x_{1}+x_{2}>0, y_{1}+y_{2}>0$

考点 根的存在性及根的个数判断；二次函数的性质．
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专题 函数的性质及应用．
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分析 画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论．
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解答 解：当 $\mathrm{a}<0$ 时，作出两个函数的图象，
：若 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象与 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 图象有且仅有两个不同的公共点，
必然是如图的情况，
因为函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}}$ 是奇函数，所以 A 与 $\mathrm{A}^{\prime}$ 关于原点对称，
显然 $\mathrm{x}_{2}>-\mathrm{x}_{1}>0$ ，即 $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}>0$ ，
$-\mathrm{y}_{1}>\mathrm{y}_{2}$ ，即 $\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}<0$ ，
同理，当 $a>0$ 时，有当 $a>0$ 时，$x_{1}+x_{2}<0, y_{1}+y_{2}>0$
故选B．

点评 本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用 ：函数与导数知识求解。要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力。题目立意较高，很好的考查能力。