（5分）在矩形 ABCD 中， AB =1, AD =2，…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质； 5 A ：平面向量及应用； 5 B ：直线与圆．

【分析】如图：以 $A$ 为原点，以 $A B, A D$ 所在的直线为 $x, y$ 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P 的坐标为 $\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cos \theta+1, \frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin \theta+2\right)$

，根据 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ ，求出 $\lambda, \mu$ ，根据三角函数的性质即可求出最值．
【解答】解：如图：以 $A$ 为原点，以 $A B, A D$ 所在的直线为 $x, y$ 轴建立如图所示的坐标系，

则 $\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(1,0), \mathrm{D}(0,2), \mathrm{C}(1,2)$ ，
∵ 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，
设圆的半径为 $r$ ，
$\because \mathrm{BC}=2, \quad \mathrm{CD}=1$,
$\therefore \mathrm{BD}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$
$\therefore \frac{1}{2} \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD}=\frac{1}{2} \mathrm{BD} \cdot \mathrm{r}$ ，
$\therefore r=\frac{2}{\sqrt{5}}$ ，
∴ 圆的方程为 $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=\frac{4}{5}$ ，
设点 P 的坐标为 $\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cos \theta+1, \frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin \theta+2\right)$ ，
$\because \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AD}}$,
$\therefore\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cos \theta+1, \frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin \theta+2\right)=\lambda(1,0)+\mu(0,2)=(\lambda, 2 \mu)$ ，
$\therefore \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cos \theta+1=\lambda, \quad \frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin \theta+2=2 \mu$ ，
$\therefore \lambda+\mu=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cos \theta+\frac{\sqrt{5}}{5} \sin \theta+2=\sin (\theta+\phi)+2$ ，其中 $\tan \phi=2$ ，
$\because-1 \leq \sin (\theta+\phi) \leq 1$,
$\therefore 1 \leq \lambda+\mu \leq 3$ ，
故 $\lambda+\mu$ 的最大值为 3 ，
故选：A．

【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是

设点 P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．