2023_全国乙卷
20. 已知椭圆 $C \colon \ \frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \big ( a > b > 0 \big )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 3 }$ ，点A(-2,0)在C上.
（1）求C的方程；
（2）过点-2,3 的直线交 C 于点 P，Q 两点，直线 AP，AQ 与 y 轴的交点分别为 M，N，证明：线段MN 的中点为定点.
(1) $\frac { y ^ { 2 } } { 9 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 1$; (2) 证明见详解
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】① $\frac { y ^ { 2 } } { 9 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 1$
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解 $^ { a , b , c }$ ，进而可得结果；
> ②设直线PQ 的方程，进而可求点M N, 的坐标，结合韦达定理验证 $\frac { y _ { _ { M } } + y _ { _ { N } } } { 2 }$ 为定值即可.【小问1详解】
由题意可得 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle b = 2 } \\ { \displaystyle a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } \\ { \displaystyle e = \frac { c } { a } = \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } } \end{array} \right.$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l l } { a = 3 } \\ { b = 2 } \\ { c = \sqrt { 5 } } \end{array} \right.$
所以椭圆方程为 $\frac { y ^ { 2 } } { 9 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 1$
【小问 2 详解】
由题意可知：直线PQ的斜率存在，设 $P Q : y = k \left( x + 2 \right) + 3 , P \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , Q \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$
联立方程 $\left\{ \begin{array} { l l } { { y = k \big ( x + 2 \big ) + 3 } } \\ { { \displaystyle { \frac { { y } ^ { 2 } } { 9 } } + { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } = 1 } } \end{array} \right.$ ，消去y 得： $\left( 4 k ^ { 2 } + 9 \right) x ^ { 2 } + 8 k \left( 2 k + 3 \right) x + 1 6 \left( k ^ { 2 } + 3 k \right) = 0$
则 $\Delta = 6 4 k ^ { 2 } \left( 2 k + 3 \right) ^ { 2 } - 6 4 \left( 4 k ^ { 2 } + 9 \right) \left( k ^ { 2 } + 3 k \right) = - 1 7 2 8 k > 0$ ，解得 $k < 0$
可得 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = - { \frac { 8 k { \bigl ( } 2 k + 3 { \bigr ) } } { 4 k ^ { 2 } + 9 } } , x _ { 1 } x _ { 2 } = { \frac { 1 6 { \bigl ( } k ^ { 2 } + 3 k { \bigr ) } } { 4 k ^ { 2 } + 9 } }$
因为A(-2,0)，则直线 $\ A P : y = { \frac { y _ { 1 } } { x _ { 1 } + 2 } } { \big ( } x + 2 { \big ) }$
令 $x = 0$ ，解得 $y = \frac { 2 y _ { 1 } } { x _ { 1 } + 2 }$ ，即 $M \left( 0 , \frac { 2 y _ { 1 } } { x _ { 1 } + 2 } \right)$
同理可得 $N { \Bigg ( } 0 , { \frac { 2 y _ { 2 } } { x _ { 2 } + 2 } } { \Bigg ) }$
$$ \begin{array}{l} \text {则} \frac {\frac {2 y _ {1}}{x _ {1} + 2} + \frac {2 y _ {2}}{x _ {2} + 2}}{2} = \frac {\left[ k (x _ {1} + 2) + 3 \right]}{x _ {1} + 2} + \frac {\left[ k (x _ {2} + 2) + 3 \right]}{x _ {2} + 2} \\ = \frac {\left[ k x _ {1} + (2 k + 3) \right] (x _ {2} + 2) + \left[ k x _ {2} + (2 k + 3) \right] (x _ {1} + 2)}{(x _ {1} + 2) (x _ {2} + 2)} = \frac {2 k x _ {1} x _ {2} + (4 k + 3) (x _ {1} + x _ {2}) + 4 (2 k + 3)}{x _ {1} x _ {2} + 2 (x _ {1} + x _ {2}) + 4} \\ = \frac {\frac {3 2 k (k ^ {2} + 3 k)}{4 k ^ {2} + 9} - \frac {8 k (4 k + 3) (2 k + 3)}{4 k ^ {2} + 9} + 4 (2 k + 3)}{\frac {1 6 (k ^ {2} + 3 k)}{4 k ^ {2} + 9} - \frac {1 6 k (2 k + 3)}{4 k ^ {2} + 9} + 4} = \frac {1 0 8}{3 6} = 3, \end{array} $$
所以线段PQ的中点是定点(0,3).
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
> ①由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论