2022_省自主命题（辽宁）
14. 如图所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑 $\frac 1 4$ 圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为 $\sqrt { g R }$ ，之后沿轨道BO运动。以O 为坐标原点建立直角坐标系 $x O y$ ，在 $x \ge - R$ 区域有方向与x轴夹角为 $\theta = 4 5 ^ { \circ }$ 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 $\sqrt { 2 } m g$ 。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O 点时的速度大小；
（3）小球过O 点后运动 轨迹方程。的
(1) $\frac { 1 } { 2 } m g R$; (2) $\nu _ { \mathrm { 0 } } = \sqrt { 3 g R }$; (3) $y ^ { 2 } = 6 R x$
【答案】（1） $\frac { 1 } { 2 } m g R$ ；（2） $\nu _ { \mathrm { 0 } } = \sqrt { 3 g R }$ ；③ $y ^ { 2 } = 6 R x$
【解析】
【详解】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得
$$ E _ {\mathrm{p}} = \frac {1}{2} m v _ {B} ^ {2} = \frac {1}{2} m g R $$
（2）小球从B到O，根据动能定理有
$$ - m g R + q E \cdot \sqrt {2} R = \frac {1}{2} m v _ {O} ^ {2} - \frac {1}{2} m v _ {B} ^ {2} $$
解得
$$ v _ {o} = \sqrt {3 g R} $$
（3）小球运动至O 点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和 $y$ 轴，则x轴方向有
$$ q E \cos 4 5 ^ {\circ} = m a _ {x} $$
竖直方向有
$$ q E \sin 4 5 ^ {\circ} - m g = m a _ {y} $$
解得
$$ a _ {x} = g, a _ {y} = 0 $$
说明小球从O 点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有
$$ x = \frac {1}{2} g t ^ {2}, y = v _ {o} t $$
联立解得小球过O 点后运动的轨迹方程
$$ y ^ {2} = 6 R x $$