（5分）（2011•辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该…——2011 高考数学第 12 题答案解析

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】计算题；压轴题

【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出 $\mathrm { S } _ { \triangle \mathrm { S C D } }$ ，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积

【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，

所以它也是大圆的直径，则易得： $\angle S _ { A C } = \angle S _ { B C } = 9 0 ^ { \circ }$

所以在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { S A C }$ 中，SC=4， $\angle A { \mathrm { S C } } = 3 0 ^ { \circ }$ 得： $A C = 2 , \mathrm { S A } = 2 \sqrt { 3 }$

又在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { S B C }$ 中，SC=4， $\angle { \mathrm { B S C } } = 3 0 ^ { \circ }$ 得：BC=2， $S \mathrm { B } { = } 2 \sqrt { 3 }$ 则：SA=SB，AC=BC

因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且 $S \mathrm { D } = \sqrt { \mathsf { S } \dot { \mathrm { A } } ^ { 2 } - \mathsf { A } \bar { \mathrm { D } } ^ { 2 } } = \sqrt { 1 2 - \frac { 3 } { 4 } } = \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 2 }$

在等腰三角形CAB中， $\mathrm { C D \perp A B }$ 且 $\mathrm { C D } = \sqrt { \operatorname { A C } ^ { 2 } - \operatorname { A D } ^ { 2 } } = \sqrt { 4 - \frac { 3 } { 4 } } = \frac { \sqrt { 1 3 } } { 2 }$

又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积： $\mathrm { V } { = } \frac { 1 } { 3 } \mathrm { A B } { \bullet } \mathrm { S } _ { \triangle \mathrm { S C D } } ,$

因为： ${ \mathrm { S D } } { = } { \frac { 3 { \sqrt { 5 } } } { 2 } } , \ { \mathrm { C D } } { = } { \frac { \sqrt { 1 3 } } { 2 } } ,$ ，SC=4

所以由余弦定理得： $\cos \angle \mathrm { S D C = \ ( \ S D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } - S C ^ { 2 } ) \ } \frac { 1 } { 2 \Sigma \mathsf { D } ^ { \bullet } \mathsf { C D } } = \ ( \frac { 4 5 } { 4 } + \frac { 1 3 } { 4 } - 1 6 )$

$$ \frac { 1 } { 2 \times \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 2 } \times \frac { \sqrt { 1 3 } } { 2 } } - \frac { 6 } { 4 } \frac { 1 } { \frac { 3 \sqrt { 6 5 } } { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 6 5 } } $$

则： $\sin \angle \mathrm { S D C } = \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \angle \mathrm { S D C } } = \frac { 8 } { \sqrt { 6 5 } }$

由三角形面积公式得 $\triangle \mathrm { S C D }$ 的面积S $\frac { 1 } { 2 } \mathrm { S D } { \bullet } \mathrm { C D } { \bullet } \sin \angle \mathrm { S D C } = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 2 } \times \frac { \sqrt { 1 3 } } { 2 } \times \frac { 8 } { \sqrt { 6 5 } } = 3$

所以：棱锥 $\mathrm { S } - \mathrm { A B C }$ 的体积： $V = \frac { 1 } { 3 } A B \cdot S _ { \Delta \mathrm { s c o } } = \frac { 1 } { 3 } \times \sqrt { 3 } \times 3 = \sqrt { 3 }$

故选C

【点评】本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型