已知定义在 [0,1] 上的函数 f(x) 满足： ① f…——2014 高考数学第 12 题答案解析

【答案】 $B$

【解析】

试题分析：不妨令 $0 \leq x<y \leq 1$ ，则 $|f(x)-f(y)| \leq \frac{1}{2}|x-y|$
法一： $2|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(x)-f(y)-[f(y)-f(1)]|$
$\leq|f(x)-f(0)|+\left|f(x)-f(y)^{\prime}\right|+|f(y)-f(1)|$
$<\frac{1}{2}|x-0|+\frac{1}{2}|x-y|+\frac{1}{2}|y-1|=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}(y-x)+\frac{1}{2}(y-1)=\frac{1}{2}$,
即得 $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{4}$ ，

另一方面，当 $u \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}u x \quad & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ -u(1-x) & \frac{1}{2}<x \leq 1\end{array}\right.$ ，符合题意，
当 $u \rightarrow \frac{1}{2}$ 时，$\left|f\left(\frac{1}{2}\right)-f(0)\right|=\frac{u}{2} \rightarrow \frac{1}{4}$ ，
故 $k \leq \frac{1}{4}$
法二：当 $x-y \leq \frac{1}{2}$ 时，$|f(x)-f(y)| \cdot \frac{1}{2}|x-y| \leq \frac{1}{4}$ ，
当 $x-y>\frac{1}{2}$ 时，$\left.|f(x)-f(y)|=\mid-f(x)-f(0)\right]-[f(y)-f(1)] \mid$
$\leq|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|<\frac{1}{2}|x-0|+\frac{1}{2}|y-1|=\frac{1}{2}(1-x)+\frac{1}{2} y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(y-x)<\frac{1}{4}$ ，
故 $k \leq \frac{1}{4}$
考点：1．抽象函数问题；2．绝对值不等式。