（5分）已知函数 f(x)(x R) 满足 f(-x)=2…——2016 高考数学第 12 题答案解析

【考点】3P：抽象函数及其应用．

【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】由条件可得 $f(x)+f(-x)=2$ ，即有 $f(x)$ 关于点 $(0,1)$ 对称，又函数 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}$ ，即 $\mathrm{y}=1+\frac{1}{\mathrm{x}}$ 的图象关于点 $(0,1)$ 对称，即有 $\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right)$ 为交点 ，即有 $\left(-x_{1}, 2-y_{1}\right)$ 也为交点，计算即可得到所求和。

【解答】解：函数 $f(x)(x \in R)$ 满足 $f(-x)=2-f(x)$ ，
即为 $f(x)+f(-x)=2$ ，
可得 $f(x)$ 关于点（ 0,1 ）对称，
函数 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}$ ，即 $\mathrm{y}=1+\frac{1}{\mathrm{x}}$ 的图象关于点 $(0,1)$ 对称，
即有 $\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right)$ 为交点，即有 $\left(-\mathrm{x}_{1}, 2-\mathrm{y}_{1}\right)$ 也为交点， （ $x_{2}, y_{2}$ ）为交点，即有 $\left(-x_{2}, 2-y_{2}\right)$ 也为交点，

$$ \begin{aligned} & \text { 则有 } \sum_{i=1}^{m}\left(x_{i}+y_{i}\right)=\left(x_{1}+y_{1}\right)+\left(x_{2}+y_{2}\right)+\ldots+\left(x_{m}+y_{m}\right) \\ & =\frac{1}{2}\left[\left(x_{1}+y_{1}\right)+\left(-x_{1}+2-y_{1}\right)+\left(x_{2}+y_{2}\right)+\left(-x_{2}+2-y_{2}\right)+\ldots+\left(x_{m}+y_{m}\right)+\left(-x_{m}\right.\right. \\ & \left.\left.\quad+2-y_{m}\right)\right] \end{aligned} $$

故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．