2016_上海卷
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.
将边长为1的正方形 $A A _ { 1 } O _ { 1 } O$ （及其内部）绕OO旋转一周形成圆柱，如图， $\widehat { A C }$ 长为 $\frac { 5 \pi } { 6 }$ $\widehat { A _ { 1 } B _ { 1 } }$ 长为 $\frac { \pi } { 3 }$ ，其中B<sub>1</sub>与C在平面AA<sub>1</sub>O<sub>1</sub>O的同侧.
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线 $\mathcal { O } _ { 1 } B _ { 1 }$ 与OC所成的角的大小.
(1) $V = \pi , S = 2 \pi$; (2) $\frac { \pi } { 2 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1） $V = \pi , S = 2 \pi$ ；② $\frac { \pi } { 2 }$
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高h =1，底面半径r =1．由此计算即得.
> ②由 $\mathrm { O } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 } / / \mathrm { O B }$ 得 ${ \angle C } \mathrm { O B }$ 或其补角为 $\mathrm { { O } } _ { 1 } \mathrm { { B } } _ { 1 }$ 与OC所成的角，再结合题设条件计算即得
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长l =1，底面半径 $r = 1$
圆柱的体积 $V = \pi r ^ { 2 } l = \pi \times 1 ^ { 2 } \times 1 = \pi$
圆柱的侧面积 $S = 2 \pi r l = 2 \pi \times 1 \times 1 = 2 \pi$
> ②设过点B的母线与下底面交于点B，则 $O _ { 1 } B _ { 1 } / / O B$
所以 $\angle C O B$ 或其补角为 $O _ { 1 } B _ { 1 }$ 与 $O C$ 所成的角
由 $\widehat { A _ { 1 } B _ { 1 } }$ 长为 $\frac { \pi } { 3 }$ ，可知 $\angle A O B = \angle A _ { 1 } O _ { 1 } B _ { 1 } = \frac { \pi } { 3 }$
由 $\widehat { A C }$ 长为 $\frac { 5 \pi } { 6 }$ ，可知 $\angle A O C = \frac { 5 \pi } { 6 }$ $\angle C O B = \angle A O C - \angle A O B = \frac { \pi } { 2 }$
所以异面直线 $O _ { 1 } B _ { 1 }$ 与 $O C$ 所成的角的大小为 $\frac { \pi } { 2 }$
考点：1.几何体的体积；2.空间角.