a_ n 为等差数列， b_ n = array l a_…——2023 高考数学第 18 题答案解析

【答案】① $a_{n}=2n+3$ ；

(2) 证明见解析.

【解析】

【分析】①设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为d，用 $a_{1},d$ 表示 $S_{n}$ 及 $T_{n}$ ，即可求解作答.

（2）方法1，利用①的结论求出 $S_{n}$ ， $b_{n}$ ，再分奇偶结合分组求和法求出 $T_{n}$ ，并与 $S_{n}$ 作差比较作答；方法2，利用①的结论求出 $S_{n}$ ， $b_{n}$ ，再分奇偶借助等差数列前 $n$ 项和公式求出 $T_{n}$ ，并与 $S_{n}$ 作差比较作答。【小问1详解】

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $\pmb{d}$ ，而 $b_{n} = \begin{cases} a_{n} - 6, & n = 2k - 1 \\ 2a_{n}, & n = 2k \end{cases}, k \in \mathbf{N}^{*}$ ，

则 $b_{1} = a_{1} - 6, b_{2} = 2a_{2} = 2a_{1} + 2d, b_{3} = a_{3} - 6 = a_{1} + 2d - 6,$

于是 $\left\{ \begin{array}{l} S_{4} = 4a_{1} + 6d = 32 \\ T_{3} = 4a_{1} + 4d - 12 = 16 \end{array} \right.$ ，解得 $a_{1} = 5, d = 2$ ， $a_{n} = a_{1} + (n - 1)d = 2n + 3$ ，

所以数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = 2n + 3$

【小问 2 详解】

方法 1：由①知， $S_{n}=\frac{n(5+2n+3)}{2}=n^{2}+4n$ ， $b_{n}=\begin{cases}2n-3,n=2k-1\\4n+6,n=2k\end{cases},k\in\mathrm{N}^{*}$

当 $n$ 为偶数时， $b_{n-1} + b_n = 2(n-1) - 3 + 4n + 6 = 6n + 1$

$$ T _ {n} = \frac {1 3 + (6 n + 1)}{2} \cdot \frac {n}{2} = \frac {3}{2} n ^ {2} + \frac {7}{2} n, $$

当 $n > 5$ 时， $T_{n} - S_{n} = \left(\frac{3}{2} n^{2} + \frac{7}{2} n\right) - (n^{2} + 4n) = \frac{1}{2} n(n - 1) > 0$ ，因此 $T_{n} > S_{n}$ ，

当 $n$ 为奇数时， $T_{n} = T_{n+1} - b_{n+1} = \frac{3}{2}(n+1)^{2} + \frac{7}{2}(n+1) - [4(n+1) + 6] = \frac{3}{2}n^{2} + \frac{5}{2}n - 5,$

$$ n > 5 $$

$$ T _ {n} - S _ {n} = (\frac {3}{2} n ^ {2} + \frac {5}{2} n - 5) - (n ^ {2} + 4 n) = \frac {1}{2} (n + 2) (n - 5) > 0 $$

$$ T _ {n} > S _ {n} $$

所以当n>5时， $T_{n}>S_{n}$ .

**方法二**：由①知， $S_{n} = \frac{n(5 + 2n + 3)}{2} = n^{2} + 4n$ ， $b_{n} = \left\{ \begin{array}{l}2n - 3,n = 2k - 1\\ 4n + 6,n = 2k \end{array} \right.,k\in \mathbf{N}^{*}$

当 $n$ 为偶数时，

$$ T _ {n} = (b _ {1} + b _ {3} + \dots + b _ {n - 1}) + (b _ {2} + b _ {4} + \dots + b _ {n}) = \frac {- 1 + 2 (n - 1) - 3}{2} \cdot \frac {n}{2} + \frac {1 4 + 4 n + 6}{2} \cdot \frac {n}{2} = \frac {3}{2} n ^ {2} + \frac {7}{2} n, $$

当 $n > 5$ 时， $T_{n} - S_{n} = \left(\frac{3}{2} n^{2} + \frac{7}{2} n\right) - (n^{2} + 4n) = \frac{1}{2} n(n - 1) > 0$ ，因此 $T_{n} > S_{n}$ ，

当 $n$ 为奇数时，若 $n \geq 3$ ，则

$T_{n}=(b_{1}+b_{3}+\cdots+b_{n})+(b_{2}+b_{4}+\cdots+b_{n-1})=\frac{-1+2n-3}{2}\cdot\frac{n+1}{2}+\frac{14+4(n-1)+6}{2}\cdot\frac{n-1}{2}$ $=\frac{3}{2}n^{2}+\frac{5}{2}n-5$ ，显然 $T_{1}=b_{1}=-1$ 满足上式，因此当n为奇数时， $T_{n}=\frac{3}{2}n^{2}+\frac{5}{2}n-5$ ，

当n>5时， $T_{n}-S_{n}=(\frac{3}{2}n^{2}+\frac{5}{2}n-5)-(n^{2}+4n)=\frac{1}{2}(n+2)(n-5)>0$ ，因此 $T_{n}>S_{n}$ ，

所以当n>5时， $T_{n}>S_{n}$ .