（14分）（2010•北京）如图，正方形 ABCD 和四边…——2010 高考数学第 16 题答案解析

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定。
【专题】空间位置关系与距离。
【分析】（I）设 AC 与 BD 交于点 G ，则在平面 BDE 中，可以先证明四边形 AGEF 为平行四边形 $\Rightarrow \mathrm{EG} \| \mathrm{AF}$ ，就可证： $\mathrm{AF} \|$ 平面 BDE ；
（II）先以C为原点，建立空间直角坐标系C－xyz．把对应各点坐标求出来，可以推出 $\overrightarrow{\mathrm{CF}}$ •
$\overrightarrow{\mathrm{BE}}=0$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{CF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$ ，就可以得到 $\mathrm{CF} \perp$ 平面 BDE
（III）先利用（II）找到 $\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$ ，是平面 BDE 的一个法向量，再利用平面 AB E 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=0$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=0$ ，求出平面 ABE 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ ，就可以求出二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BE}-\mathrm{D}$ 的大小。
【解答】解：证明：（I）设 AC 与 BD 交于点 G ，
因为 $\mathrm{EF} \| \mathrm{AG}$ ，且 $\mathrm{EF}=1, \mathrm{AG}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=1$ ，
所以四边形 AGEF 为平行四边形。所以 $\mathrm{AF} \| \mathrm{EG}$ 。
因为 $\mathrm{EG} \subset$ 平面 BDE ， $\mathrm{AF} \not \subset$ 平面 BDE ，
所以 $\mathrm{AF} \|$ 平面 BDE ．
（II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直， $\mathrm{CE} \perp \mathrm{AC}$ ，
所以 $\mathrm{CE} \perp$ 平面 ABCD 。
如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 $\mathrm{C}-\mathrm{xyz}$ ．
则 $\mathrm{C}(0,0,0), \mathrm{A}(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0), \mathrm{D}(\sqrt{2}, 0,0), \mathrm{E}(0,0,1), \mathrm{F}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right.$ ）．
所以 $\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right), \overrightarrow{\mathrm{BE}}=(0,-\sqrt{2}, 1), \overrightarrow{\mathrm{DE}}=(-\sqrt{2}, 0,1)$ ．
所以 $\overrightarrow{\mathrm{CF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=0-1+1=0, \overrightarrow{\mathrm{CF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=-1+0+1=0$ ．

所以 $\mathrm{CF} \perp \mathrm{BE}, \mathrm{CF} \perp \mathrm{DE}$ ，所以 $\mathrm{CF} \perp$ 平面 BDE
（III）由（II）知， $\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$ ，是平面 BDE 的一个法向量，
设平面 ABE 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=0, \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=0$ ．
即 $\left\{\begin{array}{l}(x, y, z) \cdot(\sqrt{2}, 0,0)=0 \\ (x, y, z) \cdot(0,-\sqrt{2}, 1)=0\end{array}\right.$
所以 $\mathrm{x}=0$ ，且 $\mathrm{z}=\sqrt{2} \mathrm{y}$ ．令 $\mathrm{y}=1$ ，则 $\mathrm{z}=\sqrt{2}$ ．所以 $\mathrm{n}=(0,1, \sqrt{2})$ ，从而 $\cos (\overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{CF}})=$
$\frac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{CF}}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
因为二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BE}-\mathrm{D}$ 为锐角，所以二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BE}-\mathrm{D}$ 为 $\frac{\pi}{6}$ ．

【点评】本题综合考查直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的求法 －在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行。