（12分）如图，三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．

【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（ I ）由题意易证 $\mathrm{DC}_{1} \perp$ 平面 BDC ，再由面面垂直的判定定理即可证得平面 $\mathrm{BDC}_{1} \perp$ 平面 BDC ；
（II）设棱锥 $\mathrm{B}-\mathrm{DACC}_{1}$ 的体积为 $\mathrm{V}_{1}, \mathrm{AC}=1$ ，易求 $\mathrm{V}_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{1+2}{2} \times 1 \times 1=\frac{1}{2}$ ，三棱柱 AB $C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积 $V=1$ ，于是可得 $\left(V-V_{1}\right): V_{1}=1: 1$ ，从而可得答案。

【解答】证明：①由题意知 $B C \perp C C_{1}, B C \perp A C, C C_{1} \cap A C=C$ ，
$\therefore \mathrm{BC} \mathrm{\perp}$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ，又 $\mathrm{DC}_{1} \subset$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{BC}$ ．
由题设知 $\angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{DC}_{1}=\angle \mathrm{ADC}=45^{\circ}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{CDC}_{1}=90^{\circ}$ ，即 $\mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{DC}$ ，又 $\mathrm{DC} \cap \mathrm{BC}=\mathrm{C}$ ，
$\therefore \mathrm{DC}_{1} \perp$ 平面 BDC ，又 $\mathrm{DC}_{1} \subset$ 平面 $\mathrm{BDC}_{1}$ ，
∴ 平面 $\mathrm{BDC}_{1} \perp$ 平面 BDC ；
②设棱锥 $B-D A C C_{1}$ 的体积为 $V_{1}, A C=1$ ，由题意得 $V_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{1+2}{2} \times 1 \times 1=\frac{1}{2}$ ，
又三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积 $V=1$ ，

$\therefore\left(\mathrm{V}-\mathrm{V}_{1}\right): \mathrm{V}_{1}=1: 1$ ，
∴ 平面 $\mathrm{BDC}_{1}$ 分此棱柱两部分体积的比为1： 1 ．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．