（本小题满分 12 分） 已知 A、 B、 C 为 A B…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【解析】（I）由已知，方程 $x^{2}+\sqrt{3} p x-p+1=0$ 的判别式
$\Delta=(\sqrt{3} p)^{2}-4(-p+1)=3 p^{2}+4 p-4 \geqslant 0$
所以 $p \leqslant-2$ 或 $p \geqslant \frac{2}{3}$
由韦达定理，有 $\tan A+\tan B=-\sqrt{3} p, \tan A \tan B=1-p$
于是 $1-\tan A \tan B=1-(1-p)=p \neq 0$
从而 $\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}=\frac{-\sqrt{3} p}{p}=-\sqrt{3}$
所以 $\tan C=-\tan (A+B)=\sqrt{3}$
所以 $C=60^{\circ}$

（II）由正弦定理，得
$\sin B=\frac{A C \sin C}{A B}=\frac{\sqrt{6} \sin 60^{\circ}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得 $B=45^{\circ}$ 或 $B=135^{\circ}$（舍去）
于是 $A=180^{\circ}-B-C=75^{\circ}$
则 $\tan A=\tan 75^{\circ}=\tan \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)=\frac{\tan 45^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=2+\sqrt{3}$
所以 $p=-\frac{1}{\sqrt{3}}(\tan A+\tan B)=-\frac{1}{\sqrt{3}}(2+\sqrt{3}+1)=-1-\sqrt{3}$
【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想．

【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的．第（I）问得到 $C=60^{\circ}$ 后，第（II）问中要注意舍去 $B=135^{\circ}$，否则造成失误。属于中档题．