已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为 (-2 5 ,…——2023 高考数学第 21 题答案解析

【答案】(1) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$

(2) 证明见解析.

【解析】

【分析】①由题意求得 $a, b$ 的值即可确定双曲线方程；

> ②设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线 $MA_{1}$ 与 $NA_{2}$ 的方程，联立直线方程，消去 $y$ ，结合韦达定理计算可得 $\frac{x + 2}{x - 2} = -\frac{1}{3}$ ，即交点的横坐标为定值，据此可证得点 $P$ 在定直线 $x = -1$ 上.【小问1详解】

设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ ，由焦点坐标可知 $c=2\sqrt{5}$ ，

则由 $e = \frac{c}{a} = \sqrt{5}$ 可得 $a = 2$ ， $b = \sqrt{c^2 - a^2} = 4$

双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$ .

【小问 2 详解】

由①可得 $A_{1}(-2,0), A_{2}(2,0)$ ，设 $M(x_{1},y_{1}), N(x_{2},y_{2})$

显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为 $x = my - 4$ ，且 $-\frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}$ 与 $\frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{16} = 1$ 联立可得 $\left(4m^2 -1\right)y^2 -32my + 48 = 0$ ，且 $\Delta = 64(4m^2 +3) > 0$ 则 $y_{1} + y_{2} = \frac{32m}{4m^{2} - 1},y_{1}y_{2} = \frac{48}{4m^{2} - 1},$

直线 $MA_{1}$ 的方程为 $y=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}(x+2)$ ，直线 $NA_{2}$ 的方程为 $y=\frac{y_{2}}{x_{2}-2}(x-2)$ ，

联立直线 $MA_{1}$ 与直线 $NA_{2}$ 的方程可得:

$$ \frac {x + 2}{x - 2} = \frac {y _ {2} (x _ {1} + 2)}{y _ {1} (x _ {2} - 2)} = \frac {y _ {2} (m y _ {1} - 2)}{y _ {1} (m y _ {2} - 6)} = \frac {m y _ {1} y _ {2} - 2 (y _ {1} + y _ {2}) + 2 y _ {1}}{m y _ {1} y _ {2} - 6 y _ {1}} $$

$$ = \frac {m \cdot \frac {4 8}{4 m ^ {2} - 1} - 2 \cdot \frac {3 2 m}{4 m ^ {2} - 1} + 2 y _ {1}}{m \times \frac {4 8}{4 m ^ {2} - 1} - 6 y _ {1}} = \frac {\frac {- 1 6 m}{4 m ^ {2} - 1} + 2 y _ {1}}{\frac {4 8 m}{4 m ^ {2} - 1} - 6 y _ {1}} = - \frac {1}{3}, $$

由 $\frac{x+2}{x-2}=-\frac{1}{3}$ 可得x=-1，即 $x_{P}=-1$ ，

据此可得点 P 在定直线 x = -1 上运动.

【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.