15. 记函数 $f(x) = \cos (\omega x + \varphi)(\omega > 0, 0 < \varphi < \pi)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $f(T) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x = \frac{\pi}{9}$ 为 $f(x)$ 的零点，则 $\omega$ 的最小值为 \_\_\_\_.
参考答案
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记函数 f(x) = cos (ω x + )(ω > 0…——2022 高考数学第 15 题答案解析
2022_全国乙卷
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【答案】3
【解析】
【分析】首先表示出 $T$ ，根据 $f(T) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 求出 $\varphi$ ，再根据 $x = \frac{\pi}{9}$ 为函数的零点，即可求出 $\omega$ 的取值，从而得解；
【详解】解：因为 $f(x) = \cos (\omega x + \varphi)$ ， $(\omega > 0, 0 < \varphi < \pi)$
所以最小正周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ ，因为 $f(T)=\cos\left(\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}+\varphi\right)=\cos(2\pi+\varphi)=\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
又 $0 < \varphi < \pi$ ，所以 $\varphi = \frac{\pi}{6}$ ，即 $f(x) = \cos \left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right)$
又 $x = \frac{\pi}{9}$ 为 $f(x)$ 的零点，所以 $\frac{\pi}{9}\omega +\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ ，解得 $\omega = 3 + 9k,k\in \mathbb{Z}$
因为 $\omega > 0$ ，所以当 k = 0 时 $\omega_{\min} = 3$ ；
故答案为：3
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