2011_退役省自主命题 (2011·理)
15．（3分）（2011 • 山东）设函数 $f(x)=\frac{x}{x+2}(x>0)$ ，观察：
$f_{1}(x)=f(x)=\frac{x}{x+2}$,
$f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right)=\frac{x}{3 x+4}$,
$f_{3}(x)=f\left(f_{2}(x)\right)=\frac{x}{7 x+8}$,
$f_{4}(x)=f\left(f_{3}(x)\right)=\frac{x}{15 x+16}$,
⋯
根据以上事实，由归纳推理可得：
当 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ 时，$f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
【解答】
（3分）（2011 • 山东）设函数 $f(x)=\frac{x}{x+2}(x>0)$ ，观察：
$f_{1}(x)=f(x)=\frac{x}{x+2}$,
$f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right)=\frac{x}{3 x+4}$,
$f_{3}(x)=f\left(f_{2}(x)\right)=\frac{x}{7 x+8}$,
$f_{4}(x)=f\left(f_{3}(x)\right)=\frac{x}{15 x+16}$,
⋯
根据以上事实，由归纳推理可得：
当 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ 时，$f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)=-\frac{x}{\left(2^{n}-1\right) x+2^{n}}$ 。
考点：归纳推理．
专题：函数的性质及应用。
分析：观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果。
解答：解：$\because$ 函数 $f(x)=\frac{x}{x+2}(x>0)$ ，观察：
$$ \begin{aligned} & f_{1}(x)=f(x)=\frac{x}{x+2} \\ & f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right)=\frac{x}{3 x+4} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & f_{3}(x)=f\left(f_{2}(x)\right)=\frac{x}{7 x+8} \\ & f_{4}(x)=f\left(f_{3}(x)\right)=\frac{x}{15 x+16} \\ & \ldots \end{aligned} $$
所给的函数式的分子不变都是 x ，
而分母是由两部分的和组成，
第一部分的系数分别是 $1,3,7,15 \ldots 2^{\mathrm{n}}-1$ ，
第二部分的数分别是 $2,4,8,16 \ldots 2^{n}$
$$ \therefore f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)=\frac{x}{\left(2^{n}-1\right) x+2^{n}} $$
故答案为：$\frac{x}{\left(2^{n}-1\right) x+2^{n}}$
点评：本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出一个数列的前几项写出数列的通项公式，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙。